Tipo exponencial

Se dice que una función ${\displaystyle f(z)}$ definida en el plano complejo es de tipo exponencial si existen constantes de valor real ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle \tau }$ tales que

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq Me^{\tau r}}$

en el límite de ${\displaystyle r\to \infty }$. Aquí, la variable compleja ${\displaystyle z}$ se ha escrito como ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones ${\displaystyle \theta }$. Si se toma ${\displaystyle \tau }$ como el ínfimo de todos los ${\displaystyle \tau }$ de este tipo, se dice entonces que la función ${\displaystyle f}$ es de «tipo exponencial ${\displaystyle \tau }$».

Por ejemplo, sea ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$. Entonces se dice que ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ es de tipo exponencial ${\displaystyle \pi }$, ya que ${\displaystyle \pi }$ es el número más pequeño que limita el crecimiento de ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ a lo largo del eje imaginario. Por lo tanto, en este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que ${\displaystyle \pi }$. Del mismo modo, tampoco se puede aplicar la fórmula de Euler-Maclaurin, ya que esta también expresa un teorema que, en última instancia, se basa en la teoría de las diferencias finitas.

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Se dice que una función holomórfica ${\displaystyle F(z)}$ es de «tipo exponencial» ${\displaystyle \sigma >0}$ si, para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe una constante real ${\displaystyle A_{\varepsilon }}$ tal que

${\displaystyle |F(z)|\leq A_{\varepsilon }e^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}$

para ${\displaystyle |z|\to \infty }$ donde ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Decimos que ${\displaystyle F(z)}$ es de tipo exponencial si ${\displaystyle F(z)}$ es de tipo exponencial ${\displaystyle \sigma }$ para algún ${\displaystyle \sigma >0}$. El número

${\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }|z|^{-1}\log |F(z)|}$

es el tipo exponencial de ${\displaystyle F(z)}$. El límite superior aquí significa el límite del supremo de la razón fuera de un radio dado a medida que el radio tiende a infinito. Este es también el límite superior del máximo de la razón en un radio dado cuando el radio tiende a infinito. El límite superior puede existir incluso si el máximo en el radio ${\displaystyle r}$ no tiene límite cuando ${\displaystyle r}$ tiende a infinito. Por ejemplo, para la función

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}$

el valor de

${\displaystyle (\max _{|z|=r}\log |F(z)|)/r}$

en ${\displaystyle r=10^{n!-1}}$ está dominado por el término n−1^st y este tiende a cero a medida que ${\displaystyle n}$ tiende a infinito,^[1] pero ${\displaystyle F(z)}$ es, no obstante, de tipo exponencial 1, como se puede ver al observar los puntos ${\displaystyle z=10^{n!}}$.

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Stein (1957) ha dado una generalización del tipo exponencial para las funciones enteras de varias variables complejas. Supongamos que ${\displaystyle K}$ es un subconjunto convexo, compacto y simétrico de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Se sabe que para cada ${\displaystyle K}$ de este tipo existe una norma asociada ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$ con la propiedad de que

${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}$

En otras palabras, ${\displaystyle K}$ es la bola unitaria en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con respecto a ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$. El conjunto

${\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ para todo }}x\in {K}\}}$

se denomina conjunto polar y es también un subconjunto convexo, compacto y simétrico de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Además, podemos escribir

${\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}$

Extendemos ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ mediante

${\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.}$

Se dice que una función entera ${\displaystyle F(z)}$ de ${\displaystyle n}$ variables complejas es de tipo exponencial con respecto a ${\displaystyle K}$ si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe una constante real ${\displaystyle A_{\varepsilon }}$ tal que

${\displaystyle |F(z)|<A_{\varepsilon }e^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}}$

para todo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$.

Las colecciones de funciones de tipo exponencial ${\displaystyle \tau }$ pueden formar un completo espacio uniforme, es decir, un espacio de Fréchet, mediante la topología inducida por la familia contable de normas

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$