Teorema de Cochran

Sean ${\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}$ variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas y que existen matrices semipositivas definidas ${\displaystyle B^{(1)},B^{(2)},\dots ,B^{(k)}}$ con

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}B^{(i)}=I_{N}}$

y supóngase que ${\displaystyle r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{k}=N}$ donde ${\displaystyle r_{i}}$ es el rango de ${\displaystyle B^{(i)}}$, si escribimos

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{N}\sum _{\varphi =1}^{N}U_{j}B_{j,\varphi }^{(i)}U_{\varphi }}$

entonces ${\displaystyle Q_{i}}$ es una forma cuadrática entonces el teorema de Cochran enuncia que las ${\displaystyle Q_{i}'s}$ con ${\displaystyle i=1,2,\dots ,N}$ son independientes y cada ${\displaystyle Q_{i}}$ tiene una distribución Chi-Cuadrada con ${\displaystyle r_{i}}$ grados de libertad, esto es, ${\displaystyle Q_{i}\sim \chi _{r_{i}}^{2}}$.

Sean ${\displaystyle Y\sim N_{n}(0,\sigma ^{2}I_{n})}$ un vector aleatorio con distribución normal multivariada, donde ${\displaystyle I_{n}}$ denota la matriz identidad de tamaño ${\displaystyle n\times n}$, y ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}}$ matrices simétricas de tamaño ${\displaystyle n\times n}$ con

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}A_{i}=I_{n}}$

entonces una de las siguientes condiciones implica las siguientes dos:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\operatorname {Rank} (A_{i})=n}$

${\displaystyle Y^{T}A_{i}Y\sim \sigma ^{2}\chi _{\operatorname {Rank} (A_{i})}^{2}}$

${\displaystyle Y^{T}A_{i}Y}$ es independiente de ${\displaystyle Y^{T}A_{j}Y}$ para ${\displaystyle i\neq j}$.

Para estimar la varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, un estimador usado es el estimador por máxima verosimilitud de la varianza de una distribución normal

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$

el teorema de Cochran demuestra que

${\displaystyle {\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

y por las propiedades de la distribución Chi-Cuadrada se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]&=\operatorname {E} [\chi _{n-1}^{2}]\\{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&=n-1\\\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&={\frac {\sigma ^{2}(n-1)}{n}}\end{aligned}}}$

• Gut, Allan. An intermediate course in probability. Springer-Verlag New York, Inc. (1995). Pag. 141-142. Traducción libre realizada en la clase de Principios de Ingeniería de Información. Escuela de Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo. Venezuela. Jueves 13-05-2010; Prof. Ángel Carnevali, Brs: Oscar Mistage, Luis Bolívar, Luis Latuff, Karin Sanchez, Giuliano Salvadori, Carlos Páez.