Sean 
variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas y que existen matrices semipositivas definidas 
con
y supóngase que 
donde 
es el rango de 
, si escribimos
entonces 
es una forma cuadrática entonces el teorema de Cochran enuncia que las 
con 
son independientes y cada tiene una distribución Chi-Cuadrada con grados de libertad, esto es, 
.
En regresión lineal
Sean 
un vector aleatorio con distribución normal multivariada, donde 
denota la matriz identidad de tamaño 
, y 
matrices simétricas de tamaño con
entonces una de las siguientes condiciones implica las siguientes dos:
es independiente de 
para 
.
Estimación de la varianza
Para estimar la varianza 
, un estimador usado es el estimador por máxima verosimilitud de la varianza de una distribución normal
el teorema de Cochran demuestra que
y por las propiedades de la distribución Chi-Cuadrada se tiene que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]&=\operatorname {E} [\chi _{n-1}^{2}]\\{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&=n-1\\\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&={\frac {\sigma ^{2}(n-1)}{n}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11534fa1a3251099776e571bc5eff5fe68f98af2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]&=\operatorname {E} [\chi _{n-1}^{2}]\\{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&=n-1\\\operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]&={\frac {\sigma ^{2}(n-1)}{n}}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11534fa1a3251099776e571bc5eff5fe68f98af2)
