Teorema de Nachbin

Se dice que una función ${\displaystyle f(z)}$ definida en el plano complejo es de tipo exponencial si existen constantes ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle \alpha }$ tales que

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

en el límite de ${\displaystyle r\to \infty }$. Aquí, la variable compleja ${\displaystyle z}$ se ha escrito como ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones ${\displaystyle \theta }$. Si se toma ${\displaystyle \alpha }$ como el ínfimo de todos los ${\displaystyle \alpha }$ de este tipo, se dice entonces que la función ${\displaystyle f}$ es de «tipo exponencial ${\displaystyle \alpha }$».

Por ejemplo, sea ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$. Entonces se dice que ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ es de tipo exponencial ${\displaystyle \pi }$, ya que ${\displaystyle \pi }$ es el número más pequeño que limita el crecimiento de ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ a lo largo del eje imaginario. Por lo tanto, en este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que ${\displaystyle \pi }$.

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Se pueden definir otros tipos de funciones de comparación además de la función exponencial. En general, una función ${\displaystyle \Psi (t)}$ es una «función de comparación» si tiene una serie

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

con ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$ para todo ${\displaystyle n}$, y

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

Las funciones de comparación son necesariamente enteras, lo cual se deduce de la prueba de la razón. Si ${\displaystyle \Psi (t)}$ es una función de comparación de este tipo, se dice entonces que ${\displaystyle f}$ es de tipo ${\displaystyle \Psi }$ si existen constantes ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle \tau }$ tales que

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

cuando ${\displaystyle r\to \infty }$. Si ${\displaystyle \tau }$ es el ínfimo de todos esos ${\displaystyle \tau }$, se dice que ${\displaystyle f}$ es de tipo ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$.

El teorema de Nachbin establece que una función ${\displaystyle f(z)}$ con la serie

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

es de tipo ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$ si y solo si

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

Esto está naturalmente relacionado con la prueba de la raíz y puede considerarse un pariente del teorema de Cauchy-Hadamard.

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El teorema de Nachbin tiene aplicaciones directas en situaciones similares a la teorema de Cauchy y en las transformadas integrales. Por ejemplo, la transformada de Borel generalizada viene dada por

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

Si ${\displaystyle f}$ es de tipo ${\displaystyle \Psi }$-${\displaystyle \tau }$, entonces el exterior del dominio de convergencia de ${\displaystyle F(w)}$, y todos sus puntos singulares, están contenidos dentro del disco

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

Además, se tiene

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

donde la contorno de integración γ rodea el disco ${\displaystyle |w|\leq \tau }$. Esto generaliza la habitual «transformada de Borel» para funciones de tipo exponencial, donde ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$. La forma integral de la transformada de Borel generalizada se deduce igualmente. Sea ${\displaystyle \alpha (t)}$ una función cuya primera derivada es acotada en el intervalo ${\displaystyle [0,\infty )}$ y que satisface la ecuación definitoria

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

donde ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$. Entonces, la forma integral de la transformada de Borel generalizada es

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

La transformada de Borel ordinaria se recupera estableciendo ${\displaystyle \alpha (t)=-e^{-t}}$. Obsérvese que la forma integral de la transformada de Borel es la transformada de Laplace.

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La suma de Nachbin puede utilizarse para sumar series divergentes que la sumación de Borel no puede, por ejemplo, para resolver asintóticamente ecuaciones integrales de la forma:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

donde ${\textstyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$, ${\displaystyle f(t)}$ puede ser o no de tipo exponencial, y el núcleo ${\displaystyle K(u)}$ tiene una transformada de Mellin. La solución se puede obtener utilizando la suma de Nachbin como ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ con los ${\displaystyle a_{n}}$ procedentes de ${\displaystyle g(s)}$ y con ${\displaystyle M(n)}$ la transformada de Mellin de ${\displaystyle K(u)}$. Un ejemplo de esto es la serie de Gram ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

En algunos casos, como condición adicional, se requiere que ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$ sea finito y distinto de cero para ${\displaystyle n=0,1,2,3,....}$