Teorema de Tannery

Sea ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(n)}$ y supóngase que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{k}(n)=b_{k}}$. Si ${\displaystyle |a_{k}(n)|\leq M_{k}}$ y ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }M_{k}<\infty }$, entonces ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}$.^[2][3]

El teorema de Tannery se deduce directamente del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, aplicado al espacio secuencial ${\displaystyle \ell ^{1}}$.

También se puede dar una demostración elemental.^[3]

El teorema de Tannery puede utilizarse para demostrar que el límite binomial y la serie infinita caracterizaciones de la función exponencial ${\displaystyle e^{x}}$ son equivalentes. Nótese que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}.}$

Sea ahora ${\displaystyle a_{k}(n)={n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}}$. Se tiene entonces que ${\displaystyle |a_{k}(n)|\leq {\frac {|x|^{k}}{k!}}}$ y que ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x|}<\infty }$, por lo que puede aplicarse el teorema de Tannery, y por lo tanto:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}.}$