Teorema de Wiener-Khinchin

Norbert Wiener demostró este teorema para el caso de una función determinista en 1930;^[8] Aleksandr Khinchin formuló más tarde un resultado análogo para procesos estocásticos estacionarios y publicó ese análogo probabilístico en 1934.^[9][10] Albert Einstein explicó, sin pruebas, la idea en un breve memorándum de dos páginas en 1914.^[11][12]

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Para el tiempo continuo, el teorema de Wiener-Khinchin dice que si ${\displaystyle x}$ es un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio cuya función de autocorrelación ${\displaystyle r}$ se define en términos de valor esperado estadístico $${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\mathbb {E} {\big [}x(t)^{*}x(t-\tau ){\big ]}<\infty ,\quad \forall \tau ,t\in \mathbb {R} ,}$$ donde el asterisco denota conjugado complejo, entonces existe una función monótona ${\displaystyle F(f)}$ en el dominio de frecuencia ${\displaystyle -\infty <f<\infty }$, o equivalentemente una medida de Radon no negativa ${\displaystyle \mu }$ en el dominio de la frecuencia, tal que $${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\mu (df)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f),}$$ donde la integral es una integral de Riemann-Stieltjes.^[1][13] Se trata de una especie de descomposición espectral de la función de autocorrelación. ${\displaystyle F}$ se denomina función de distribución espectral de potencia y es una función de distribución estadística. A veces se denomina espectro integrado.

La transformada de Fourier ordinaria de ${\displaystyle x(t)}$ no existe en general, porque las funciones aleatorias estocásticas no suelen ser absolutamente integrables. Tampoco se supone que ${\displaystyle r_{xx}}$ sea absolutamente integrable, por lo que tampoco es necesario que tenga una transformada de Fourier.

Sin embargo, si la medida ${\displaystyle \mu (df)=dF(f)}$ es absolutamente continua (por ejemplo, si el proceso es puramente indeterminista), entonces ${\displaystyle F}$ es diferenciable casi en todas partes y tiene una derivada de Radon-Nikodym dada por $${\displaystyle S(f)={\frac {\mu (df)}{df}}.}$$ En este caso, se puede determinar ${\displaystyle S(f)}$, la densidad espectral de potencia de ${\displaystyle x(t)}$, tomando la derivada promediada de ${\displaystyle F}$. Dado que las derivadas izquierda y derecha de ${\displaystyle F}$ existen en todas partes, es decir, podemos poner $${\displaystyle S(f)={\frac {1}{2}}\left(\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}+\lim _{\varepsilon \uparrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}\right)}$$ en todas partes,^[14] (obteniendo que «F» es la integral de su derivada promediada^[15]), y el teorema se simplifica a $${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\,S(f)df.}$$ Suponiendo que ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle S}$ son «suficientemente buenas» para que el teorema de inversión de Fourier sea válido, el teorema de Wiener-Khinchin adopta la forma simple de decir que ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle S}$ son un [ [Fourier_transform#Definition|par de transformadas de Fourier]], y $${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-2\pi if\tau }\,d\tau .}$$

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Para el caso en tiempo discreto, la densidad espectral de potencia de la función con valores discretos ${\displaystyle x_{n}}$ es

${\displaystyle S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}(k)e^{-i\omega k}}$

donde ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ es la frecuencia angular, ${\displaystyle i}$ se utiliza para denotar la unidad imaginaria (en ingeniería, a veces se utiliza la letra ${\displaystyle j}$ en su lugar) y ${\displaystyle r_{xx}(k)}$ es la función de autocorrelación discreta de ${\displaystyle x_{n}}$, definida en su formulación determinista o estocástica.

Siempre que ${\displaystyle r_{xx}}$ sea absolutamente sumable, es decir,

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }|r_{xx}(k)|<+\infty }$

el resultado del teorema se puede escribir como

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\tau \omega }S(\omega )d\omega }$

Al ser una secuencia de tiempo discreto, la densidad espectral es periódica en el dominio de la frecuencia. Por esta razón, el dominio de la función ${\displaystyle S}$ suele restringirse a ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ (nótese que el intervalo es abierto por un lado).

El teorema es útil para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (sistemas LTI) cuando las entradas y salidas no son integrables cuadráticamente, por lo que sus transformadas de Fourier no existen. Una consecuencia es que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la salida de un sistema LTI es igual al producto de la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la entrada del sistema por la magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de la respuesta impulsiva del sistema. ^[16] Esto funciona incluso cuando las transformadas de Fourier de las señales de entrada y salida no existen porque estas señales no son integrables en el cuadrado, por lo que las entradas y salidas del sistema no pueden relacionarse directamente mediante la transformada de Fourier de la respuesta al impulso.

Dado que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es el espectro de potencia de la señal, este corolario equivale a decir que el espectro de potencia de la salida es igual al espectro de potencia de la entrada multiplicado por la energía función de transferencia.

Este corolario se utiliza en el método paramétrico para la estimación del espectro de potencia.