Lema de Wiener

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Consideremos el espacio ${\displaystyle M(\mathbb {T} )}$ de todas las medidas de Borel complejas (finitas) en el círculo unitario ${\displaystyle \mathbb {T} }$ y el espacio ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ de funciones continuas en ${\displaystyle \mathbb {T} }$ como su espacio dual. Entonces ${\displaystyle C(\mathbb {T} )\subset L^{p}(\mathbb {T} )}$ para todo ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ y ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )\subset M(\mathbb {T} )}$.^[3]

Dado ${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {T} )}$, sea $${\displaystyle \mu _{pp}=\sum _{j}c_{j}\delta _{z_{j}},}$$ sea su parte discreta (lo que significa que ${\displaystyle \mu (\{z_{j}\})=c_{j}\neq 0}$ y ${\displaystyle \mu (\{z\})=0}$ para ${\displaystyle z\not \in \{z_{j}\}}$. Entonces $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2},}$$ donde ${\displaystyle {\widehat {\mu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }z^{-n}\,d\mu (z)}$ es el ${\displaystyle n}$ -ésimo coeficiente de Fourier-Stieltjes de ${\displaystyle \mu }$.^[4][5]

De manera similar, en la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$, el espacio ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ de funciones continuas que se anulan en el infinito es el espacio dual de ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ y ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )\subset L^{p}(\mathbb {R} )}$ para todo ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$.^[6]

Dado ${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$, sea $${\displaystyle \mu _{pp}=\sum _{j}c_{j}\delta _{x_{j}},}$$ su parte discreta. Entonces $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}|{\widehat {\mu }}(\xi )|^{2}\,d\xi =\sum _{j}|c_{j}|^{2},}$$ donde ${\displaystyle {\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi x}\,d\mu (x)}$ es la transformada de Fourier-Stieltjes de ${\displaystyle \mu }$. ^[7]

Si ${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {T} )}$ es continua, entonces $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=0.}$$ Además, ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ tiende a cero si ${\displaystyle \mu }$ es absolutamente continua.^[8] De forma equivalente, ${\displaystyle \mu }$ es absolutamente continua si su secuencia de Fourier-Stieltjes pertenece al espacio de secuencias ${\displaystyle \ell ^{2}}$.^[8] Es decir, si ${\displaystyle \mu }$ no asigna masa a los conjuntos de medida de Lebesgue cero (es decir, ${\displaystyle \mu _{pp}=0}$), entonces ${\displaystyle {\hat {\mu }}\to 0}$ cuando ${\displaystyle |N|\to \infty }$. Por el contrario, si ${\displaystyle {\hat {\mu }}\to 0}$ cuando ${\displaystyle |N|\to \infty }$, entonces ${\displaystyle \mu }$ no asigna masa a los conjuntos numerables. ^[9]

Una medida de probabilidad ${\displaystyle \mu }$ en el círculo es una masa de Dirac si y solo si $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=1.}$$ Aquí, la implicación no trivial se deriva del hecho de que los pesos ${\displaystyle c_{j}}$ son positivos y satisfacen $${\displaystyle 1=\sum _{j}c_{j}^{2}\leq \sum _{j}c_{j}\leq 1,}$$ lo que obliga a ${\displaystyle c_{j}^{2}=c_{j}}$ y, por lo tanto, a ${\displaystyle c_{j}=1}$, de modo que debe haber un único átomo con masa ${\displaystyle 1}$.

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• En primer lugar, observamos que si ${\displaystyle \nu }$ es una medida compleja en el círculo, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }f_{N}(z)\,d\nu (z),}$

con ${\displaystyle f_{N}(z)={\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}z^{-n}}$. La función ${\displaystyle f_{N}}$ está acotada por ${\displaystyle 1}$ en valor absoluto y tiene ${\displaystyle f_{N}(1)=1}$, mientras que ${\displaystyle f_{N}(z)={\frac {z^{N+1}-z^{-N}}{(2N+1)(z-1)}}}$ para ${\displaystyle z\in \mathbb {T} \setminus \{1\}}$, que converge a ${\displaystyle 0}$ cuando ${\displaystyle N\to \infty }$. Por lo tanto, según el Teorema de la convergencia dominada,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} }1_{\{1\}}(z)\,d\nu (z)=\nu (\{1\}).}$

Ahora tomamos ${\displaystyle \mu '}$ como la medida empujada de ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ bajo la aplicación inversa en ${\displaystyle \mathbb {T} }$, es decir, ${\displaystyle \mu '(B)={\overline {\mu (B^{-1})}}}$ para cualquier conjunto boreliano ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {T} }$. Esta medida compleja tiene coeficientes de Fourier ${\displaystyle {\widehat {\mu '}}(n)={\overline {{\widehat {\mu }}(n)}}}$. Vamos a aplicar lo anterior a la convolución entre ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \mu '}$, es decir, elegimos ${\displaystyle \nu =\mu *\mu '}$, lo que significa que ${\displaystyle \nu }$ es la adelanto de la medida ${\displaystyle \mu \times \mu '}$ (en ${\displaystyle \mathbb {T} \times \mathbb {T} }$) bajo la aplicación de producto ${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {T} \times \mathbb {T} \to \mathbb {T} } . Por el teorema de Fubini

${\displaystyle {\widehat {\nu }}(n)=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }(zw)^{-n}\,d(\mu \times \mu ')(z,w)=\int _{\mathbb {T} }\int _{\mathbb {T} }z^{-n}w^{-n}\,d\mu '(w)\,d\mu (z)={\widehat {\mu }}(n){\widehat {\mu '}}(n)=|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}.}$

Por lo tanto, según la identidad derivada anteriormente, ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{N}|{\widehat {\mu }}(n)|^{2}=\nu (\{1\})=\int _{\mathbb {T} \times \mathbb {T} }1_{\{zw=1\}}\,d(\mu \times \mu ')(z,w).}$ De nuevo, por el teorema de Fubini, el lado derecho es igual a

${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }\mu '(\{z^{-1}\})\,d\mu (z)=\int _{\mathbb {T} }{\overline {\mu (\{z\})}}\,d\mu (z)=\sum _{j}|\mu (\{z_{j}\})|^{2}=\sum _{j}|c_{j}|^{2}.}$

• La demostración de la afirmación análoga para la recta real es idéntica, salvo que utilizamos la identidad

${\displaystyle {\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} }f_{R}(x)\,d\nu (x)}$

(que se deduce del teorema de Fubini), donde ${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}e^{-2\pi i\xi x}\,d\xi }$. Observamos que ${\displaystyle |f_{R}|\leq 1}$, ${\displaystyle f_{R}(0)=1}$ y ${\displaystyle f_{R}(x)={\frac {e^{2\pi iRx}-e^{-2\pi iRx}}{4\pi iRx}}}$ para ${\displaystyle x\neq 0}$, que converge a ${\displaystyle 0}$ cuando ${\displaystyle R\to \infty }$. Por lo tanto, según el teorema de convergencia dominada, tenemos la identidad análoga

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {1}{2R}}\int _{-R}^{R}{\widehat {\nu }}(\xi )\,d\xi =\nu (\{0\}).}$