Teorema de descomposición de Doob

Sea ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ un espacio de probabilidad, junto con una filtración ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in I}}$, donde ${\displaystyle I}$ representa el conjunto de índices, en este caso ${\displaystyle I=\{0,1,\ldots ,N\}}$ para algún ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, o ${\displaystyle I=\mathbb {N} _{0}}$; y sea ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in I}}$ un proceso estocástico adaptado tal que ${\displaystyle E[|X_{n}|]<\infty }$ para todo ${\displaystyle n\in I}$. Entonces existe una martingala ${\displaystyle M=(M_{n})_{n\in I}}$ y un proceso estocástico integrable y predecible ${\displaystyle A=(A_{n})_{n\in I}}$ con valor inicial ${\displaystyle A_{0}=0}$ tal que ${\displaystyle X_{n}=M_{n}+A_{n}}$ para todo ${\displaystyle n\in I}$. Además, esta descomposición es única casi seguramente.

El teorema sigue siendo válido, palabra por palabra, para procesos estocásticos con valores en el espacio euclídeo ${\displaystyle d}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ o el espacio vectorial complejo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$. Esta generalización se deduce aplicando la versión unidimensional del teorema a cada componente.

1. ↑ Doob, Joseph L. ([1953]). Stochastic processes.. Wiley. ISBN 0-471-21813-8. OCLC 529598. Consultado el 21 de julio de 2020.