Teorema de unicidad de Aleksándrov
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El teorema de unicidad de Aleksándrov es un teorema de rigidez matemático, que describe poliedros convexos tridimensionales en términos de las distancias entre puntos de sus superficies. Implica que los poliedros convexos con formas distintas entre sí también tienen distintos espacios métricos de distancias superficiales, y caracteriza los espacios métricos que provienen de las distancias superficiales en los poliedros. Lleva el nombre del matemático soviético Aleksandr Danílovich Aleksándrov, quien lo publicó en la década de 1940.[1][2][3]
La superficie de cualquier poliedro convexo en un espacio euclídeo forma un espacio métrico, en el que la distancia entre dos puntos se mide por la longitud del camino más corto de un punto a otro en la superficie. Dentro de un determinado camino más corto, las distancias entre sus pares de puntos equivalen a las distancias entre los puntos correspondientes del segmento que los une. Una ruta con esta propiedad se conoce como una línea geodésica.
Esta propiedad de las superficies poliédricas, que cada par de puntos está conectado por una geodésica, no es cierta para muchos otros espacios métricos, y cuando es cierta, el espacio se llama espacio geodésico. El espacio geodésico formado a partir de la superficie de un poliedro se denomina desarrollo.[3]
Se puede pensar que el poliedro se ha formado plegando una hoja de papel (es decir, a partir del desarrollo de un poliedro) y hereda la misma geometría que el papel: por cada punto p dentro de una cara del poliedro, un entorno abierto suficientemente pequeño de p tendrá las mismas distancias que un subconjunto del plano. Lo mismo es cierto incluso para los puntos en las aristas del poliedro: se pueden modelar localmente como un plano euclidiano plegado en una línea e incrustado en un espacio tridimensional, pero el pliegue no cambia la estructura de los caminos más cortos en la superficie. Sin embargo, los vértices del poliedro tienen una estructura de distancia diferente: la geometría local de un vértice de poliedro es la misma que la geometría local en el vértice de un cono. Cualquier cono se puede formar a partir de una hoja plana de papel a la que se le quita una cuña pegando los bordes cortados donde se quitó la cuña. El ángulo de la cuña que se eliminó se llama defecto angular del vértice; y es un número positivo menor que 2Π. El defecto de un vértice de poliedro se puede medir restando los ángulos de las caras en ese vértice de 2Π. Por ejemplo, en un tetraedro regular, cada ángulo de cara es Π/3, y hay tres de ellos en cada vértice, por lo que restarlos de 2Π deja un defecto de Π en cada uno de los cuatro vértices.
De manera similar, un cubo tiene un defecto de Π/2 en cada uno de sus ocho vértices. Una propiedad del defecto angular (según el teorema de Gauss-Bonnet) establece que la suma de los defectos angulares de todos los vértices es siempre exactamente 4Π. En resumen, el desarrollo de un poliedro convexo es geodésico, homeomorfo (topológicamente equivalente) a una esfera, y localmente euclídeo excepto por un número finito de vértices cónicos cuyo defecto angular suma 4Π.[3]
El teorema de Aleksándrov plantea una proposición inversa a esta propiedad. Establece que si un espacio métrico es geodésico, homeomorfo a una esfera y localmente euclídeo excepto por un número finito de puntos cónicos de defecto angular positivo (que necesariamente suman 4Π), entonces existe un poliedro convexo cuyo desarrollo es el espacio dado. Además, este poliedro se define de forma única a partir de la métrica: dos poliedros convexos cualesquiera con la misma métrica de superficie deben ser congruentes entre sí como conjuntos tridimensionales.[3]
