Icosaedro regular

El icosaedro regular es un poliedro de veinte caras que son triángulos equiláteros. Es uno de los ocho deltaedros (poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros) convexos.^[1]

También puede construirse de la siguiente manera:

• Se comienza uniendo dos pirámides pentagonales con caras regulares a la base de un antiprisma pentagonal. Estos componentes son poliedros elementales y no pueden desintegrarse en poliedros convexos más pequeños con caras regulares. Al reemplazar las bases de un antiprisma pentagonal con diez pirámides triangulares,^[2] el icosaedro regular se clasifica como un poliedro compuesto, opuesto a un poliedro elemental.^[3] Esta construcción dio lugar a los nombres alternativos de antiprisma pentagonal bicortado,^[4] o bipirámide pentagonal giroelongada debido a su proceso de construcción mediante sólidos de Johnson (la construcción de poliedros mediante la unión de dos pirámides a las bases de un antiprisma).^[5]

• Los doce vértices de un icosaedro regular describen los tres planos rectangulares áureos mutuamente perpendiculares, cuyas esquinas están conectadas. Estos planos rectangulares se pueden construir a partir de un par de vértices situados en los puntos medios de las aristas opuestas de la superficie de un cubo, trazando un segmento entre ellos, y dividiendo dicho segmento según la proporción del número áureo ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ desde su punto medio.^[6] Ambos vértices de un icosaedro regular tienen una longitud de arista de 2 y los tres planos se pueden definir mediante las coordenadas cartesianas siguientes:^[7]

${\displaystyle \left(0,\pm 1,\pm \varphi \right),\left(\pm 1,\pm \varphi ,0\right),\left(\pm \varphi ,0,\pm 1\right).}$.

• Se puede achatar un octaedro regular separando todas sus caras y rellenándolas con más triángulos equiláteros. Como sugiere el proceso, el icosaedro regular también se conoce como octaedro truncado.^[8]

El icosaedro regular se puede desplegar en 43.380 desarrollos diferentes.^[9] La primera representación del desarrollo de un icosaedro apareció en el Manual del Pintor de Alberto Durero en 1525.^[10]

El área superficial de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. En el caso de un icosaedro regular, su área superficial ${\displaystyle A}$ es veinte veces la de cada una de sus caras triangulares equiláteras. Su volumen ${\displaystyle V}$ se puede obtener como veinte veces el de una pirámide cuya base es una de sus caras y cuyo vértice es el centro del icosaedro regular, o como la suma del volumen de dos pirámides pentagonales uniformes y el volumen de un antiprisma pentagonal. Dada la longitud ${\displaystyle a}$ de la arista de un icosaedro regular, entonces:^[11]

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.}$

La esfera inscrita de un poliedro convexo toca cada cara del poliedro en su interior. La esfera circunscrita de un poliedro convexo contiene al poliedro y pasa por cada vértice. La interesfera de un poliedro convexo es tangente al centro de cada arista. Dada la longitud ${\displaystyle a}$ de la arista de un icosaedro regular, el radio de la esfera interna (inradio) ${\displaystyle r_{I}}$, el radio de la esfera circunscrita (circunradio) ${\displaystyle r_{C}}$ y el radio de la esfera media (medioradio) ${\displaystyle r_{M}}$ son, respectivamente: ^[12]

${\displaystyle r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.}$

Un problema que se remonta a los antiguos griegos es determinar cuál de dos figuras tiene un mayor volumen: un icosaedro regular inscrito en una esfera, o un dodecaedro regular inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Herón de Alejandría, Papo y Leonardo de Pisa, entre otros.^[13] Apolonio de Perge descubrió el curioso resultado de que la razón de los volúmenes de estas dos figuras es la misma que la razón de sus áreas superficiales.^[14] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran al número áureo, pero con diferentes potencias.^[15] Resulta que el icosaedro regular ocupa menos volumen de la esfera (60,54%) que el dodecaedro regular (66,49%).^[16]

El ángulo diedro de un icosaedro regular es ${\displaystyle 2\arcsin(\varphi /{\sqrt {3}})\approx 138.19^{\circ }}$, que se obtiene sumando el ángulo de las pirámides pentagonales con caras regulares y el de un antiprisma pentagonal. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal y una pirámide pentagonal entre dos caras triangulares adyacentes es aproximadamente 38,2°. El ángulo diedro de un antiprisma pentagonal entre dos triángulos es de 100,8°, y el de una pirámide pentagonal entre las mismas caras es de 37,4°. Por lo tanto, para el icosaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes, en la arista donde se unen la pirámide pentagonal y el antiprisma pentagonal, es 37,4° + 100,8° = 138,2°.^[17]

El icosaedro regular tiene tres tipos de geodésicas cerradas, caminos en su superficie que son localmente rectos: evitan los vértices del poliedro, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. La primera geodésica forma un decágono regular perpendicular a la diagonal más larga y tiene una longitud de ${\displaystyle 5}$. Las otras dos geodésicas no son planas, y sus longitudes son ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}\approx 5.196}$ y ${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$.^[18]

El icosaedro regular tiene treinta y un ejes de simetría rotacional (es decir, girando alrededor de uno de estos ejes se obtiene una apariencia idéntica). Hay seis ejes que pasan por dos vértices opuestos, diez ejes perpendiculares al centro de una cara triangular y quince ejes que pasan por el centro de cualquiera de sus aristas. Respectivamente, estos ejes son de simetría rotacional quíntuple (0°, 72°, 144°, 216° y 288°), simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) y simetría rotacional doble (0° y 180°).^[19]

También tiene quince planos de simetría que pueden representarse como círculos máximos de una esfera, que dividen la superficie de la esfera en 120 dominios fundamentales triangulares, denominados triángulos de Schwarz o también de Mobius. Tanto las reflexiones como las simetrías rotacionales son las isometrías (transformaciones que mantienen la apariencia del poliedro) que forman el grupo de simetría icosaédrica ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$ de orden 120.^[20] Este grupo de simetría es isomórfico al producto del grupo de simetría rotacional por el grupo cíclico de tamaño dos, generado por la reflexión a través del centro del icosaedro regular.^[21]

El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alternante de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras.^[22] Dado que el grupo de Galois de la ecuación quíntica general es isomorfa al grupo simétrico en cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quíntica general no tiene solución en radicales. La demostración del teorema de Abel-Ruffini utiliza este hecho simple,^[23] y Felix Klein escribió un libro que utilizó la teoría de simetrías icosaédricas para deducir una solución analítica a la ecuación quíntica general.^[24]

El icosaedro regular es isogonal, isoedral y e isotoxal: cualesquiera dos vértices, dos caras y dos aristas de un icosaedro regular pueden transformarse mediante rotaciones y reflexiones bajo su órbita de simetría, lo que preserva su apariencia. Cada poliedro regular tiene una envolvente convexa determinada por los puntos medios de sus aristas; el icosidodecaedro es esta envoltura convexa de un icosaedro regular.^[25] Cada vértice está rodeado por cinco triángulos equiláteros, por lo que el icosaedro regular se denota ${\displaystyle 3.3.3.3.3}$ en notación de configuración de vértices; o ${\displaystyle \{3,5\}}$ en símbolos de Schläfli. ^[26]

Un dado de veinte caras del Egipto ptolemaico, con inscripciones en letras griegas en sus caras

El dado de veinte caras del juego "Scattergories", que excluye seis letras del alfabeto inglés (Q, U, V, X, Y y Z).

Los dados son uno de los objetos más comunes que utilizan diferentes poliedros, uno de los cuales es el icosaedro regular. El dado de veinte caras ya se usaba en la antigüedad. Un ejemplo es el dado del Egipto Ptolemaico, que posteriormente se usó con letras griegas inscritas en sus caras durante el período de Grecia y Roma.^[27] Otro ejemplo se encontró en el tesoro del sultán Tipu, hecho de oro y con números escritos en cada cara.^[28]

En varios juegos de rol, como Dragones & Mazmorras, el dado de veinte caras (etiquetado como d20) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Puede estar numerado del "0" al "9" dos veces, en cuyo caso suele funcionar como un dado de diez caras (d10). La mayoría de las versiones modernas están numeradas del "1" al "20".^[29] Scattergories es otro juego de mesa en el que el jugador debe hallar dentro de un tiempo determinado palabras que empiecen por una letra (seleccionada con el dado de veinte caras), pertenecientes a una serie de categorías contenidas en unas tarjetas que forman parte del juego.^[30]

El radiolario Circogonia icosahedra

Mapa Dymaxion, creado mediante la proyección de la esfera terrestre sobre las caras un icosaedro regular

En virología, el virus del herpes presenta cápsides de estructura icosaédrica, especialmente conocidas en los adenovirus.^[31] La capa proteica externa del VIH está encerrada en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un myovirus típico.^[32] De forma similar, varias especies de radiolarios descubiertas por Ernst Haeckel cuentan con capas descritas como diversos poliedros regulares. Una de ellas es el icosaedro de la circogonia, cuyo esqueleto tiene forma de icosaedro regular.^[33]

En química, los closo-carboranos son compuestos con una forma que se asemeja a un icosaedro regular.^[34] La macla con formas icosaédricas también se encuentra en cristales, especialmente en nanopartículas.^[35] Muchos boruros y alótropos del boro, como α- y β-romboédrico, contienen el icosaedro de boro B₁₂ como unidad estructural básica.^[36]

En cartografía, Richard Buckminster Fuller utilizó el desarrollo plano de un icosaedro regular para crear un mapa conocido como mapa Dymaxion, subdividiendo el desarrollo plano en triángulos, calculando la cuadrícula sobre la superficie terrestre y transfiriendo los resultados de la esfera al poliedro. Esta proyección se creó cuando Fuller se percató de que Groenlandia es más pequeña que América del Sur.^[37]

En el Problema de Thomson, relativo a la configuración de energía mínima de ${\displaystyle n}$ partículas cargadas sobre una esfera, y para el problema de Tammes que consiste en construir un patrón esférico que maximice la distancia mínima entre los puntos, la solución mínima conocida para ${\displaystyle n=12}$ sitúa los puntos en los vértices de un icosaedro regular inscrito en una esfera. Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes y también para el problema de Thomas.^[38]

En tensegridad, el icosaedro regular se compone de seis puntales y veinticuatro cables que conectan doce nodos. Existe un estado de autotensión dentro de la combinación obtenida mediante el uso de morfogénesis celular.^[39]

Boceto de un icosaedro regular realizado por Johannes Kepler

Modelo del sistema solar de Kepler, que utilizaba los sólidos platónicos

El icosaedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos. Los poliedros regulares se conocen desde la antigüedad, pero reciben su nombre de Platón, quien, en su diálogo Timeo, los identificó con los cinco elementos de la naturaleza, cuyas unidades elementales se atribuyeron a estas formas: fuego (tetraedro), aire (octaedro), agua (icosaedro), tierra (cubo) y la forma del universo en su conjunto (dodecaedro). Euclides, en sus Elementos, definió los sólidos platónicos y resolvió el problema de hallar la razón entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de su arista.^[40]

Tras su identificación con los elementos por Platón, Johannes Kepler dibujó cada uno de ellos en su obra Harmonices Mundi, en particular, el icosaedro regular.^[41] En su obra Mysterium Cosmographicum, también propuso un modelo del sistema solar basado en la disposición de los sólidos platónicos en una secuencia concéntrica de radio creciente de las esferas inscritas y circunscritas, cuyos radios indicaban la distancia de los seis planetas conocidos al centro común. El orden de los sólidos, de más interno a más externo, consistía en: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo.^[42]

En su obra De divina proportione, Leonardo da Vinci dibujó tanto el icosaedro regular como el dodecaedro.^[43]

Todo grafo platónico, incluyendo el grafo icosaédrico, es un grafo poliédrico: se puede dibujar en el plano sin cruzar sus aristas y la eliminación de dos cualesquiera de sus vértices deja un subgrafo conexo. Según el teorema de Steinitz, el grafo icosaédrico dotado de estas propiedades representa el esqueleto de un icosaedro regular.^[44]

El grafo icosaédrico tiene doce vértices, el mismo número que un icosaedro regular. Estos vértices están conectados por cinco aristas desde cada vértice, lo que hace que el grafo icosaédrico sea 5-regular.^[45] El grafo icosaédrico es hamiltoniano, porque describe un ciclo que puede visitar cada vértice exactamente una vez.^[46] Cualquier subconjunto de cuatro vértices tiene tres aristas conectadas, siendo una de ellas el centro de las tres, y el grafo icosaédrico no tiene subgrafos inducidos, es decir, es un grafo sin garras.^[47]

El grafo icosaédrico es un grafo elegante, lo que significa que cada vértice puede etiquetarse con un número entero entre 0 y 30 inclusive, de tal manera que la diferencia absoluta entre las etiquetas de los dos vértices de una arista es diferente para cada arista. ^[48]

El icosaedro regular se puede representar como una matriz de configuración, una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro, como vértices, aristas y caras. Su diagonal principal indica la cantidad de cada uno de estos elementos que aparece en un poliedro, mientras que en las posiciones restantes se indica la cantidad de elementos de la columna (vértices, aristas y caras) que aparecen en el elemento de la fila. Así, por ejemplo, en la primera columna y en la tercera fila aparece un 3, lo que indica que cada cara (columna 1) tiene 3 vértices (fila 3). La matriz correspondiente al icosaedro es:^[49]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}12&5&5\\2&30&2\\3&3&20\end{bmatrix}}.}$

El icosaedro regular es el poliedro dual del dodecaedro regular. Un icosaedro regular puede inscribirse en un dodecaedro regular colocando sus vértices en los centros de las caras del dodecaedro regular, y viceversa. El dodecaedro regular posee simetría icosaédrica.^[50]

Además de la construcción anterior, el icosaedro regular puede inscribirse en un octaedro regular colocando sus doce vértices en las doce aristas del octaedro, de manera que dividan cada arista según la proporción del número áureo. Debido a que los segmentos resultantes son desiguales, existen cinco maneras diferentes de hacerlo de forma consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada octaedro.^[51] Otra relación entre ambos es que forman parte de la transformación progresiva de los puntales rígidos y los vértices flexibles del cuboctaedro, conocida como cinemática del cuboctaedro.^[52]

Un icosaedro regular de longitud de arista ${\displaystyle 1/\varphi \approx 0.618}$ se puede inscribir en un cubo de longitud de arista unitaria colocando seis de sus aristas (tres pares opuestos ortogonales) sobre las caras cuadradas del cubo, centradas en los centros de las caras y paralelas o perpendiculares a las aristas del cuadrado.^[53] Dado que hay cinco veces más aristas de icosaedro que caras de cubo, existen cinco maneras de hacerlo de forma consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada cubo. Las longitudes de las aristas del cubo y del icosaedro inscrito guardan la proporción áurea.

El icosaedro regular posee un gran número de estelaciones, construidas mediante la extensión de las caras de un icosaedro regular. En su obra The Fifty-Nine Icosahedra, Coxeter et al. (1938) identificó cincuenta y nueve estelaciones para el icosaedro regular. El icosaedro regular es la estelación cero de un icosaedro, y la primera estelación tiene cada cara original aumentada por una pirámide baja. El la estelación final incluye todas las celdas en el diagrama de estelación del icosaedro, es decir, cada tres planos de caras que se intersecan en el núcleo del icosaedro se intersecan en un vértice de este poliedro o en su interior.^[54]

Las seis estelaciones del icosaedro regular según Coxeter et al. (1938): icosaedro regular (cero), primera estelación, compuesto de cinco octaedros regular, dodecaedro excavado, gran icosaedro y estelación final. Véase The Fifty-Nine Icosahedra para más información.

El gran dodecaedro se puede construir a partir del icosaedro regular de otras maneras. Además de la estelación, también se puede construir mediante facetado del icosaedro regular, es decir, eliminando las caras triangulares del icosaedro regular sin eliminar los vértices ni crear uno nuevo; luego, formando doce pentágonos regulares en conjuntos de cinco vértices dentro de un icosaedro regular. Estas nuevas caras se intersecan entre sí, formando una estrella pentagonal como figura de vértice.^[55]

De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: gran dodecaedro, icosaedro truncado, pirámide pentagonal giroelongada, e icosaedro con aristas contraídas

El triaquisicosaedro es un sólido de Catalan construido al unir la base de pirámides triangulares a cada cara de un icosaedro regular, el kleetopo de un icosaedro.^[56] El icosaedro truncado es un sólido arquimediano construido al truncar los vértices de un icosaedro regular. El poliedro resultante puede considerarse un balón de fútbol, debido al patrón formado por caras hexagonales y pentagonales,^[57] o una forma estructural de carbono conocida como buckminsterfullereno, que tiene 60 átomos de carbono unidos entre sí.^[58]

Un sólido de Johnson es un poliedro cuyas caras son todas regulares, pero que no es uniforme. En otras palabras, no incluye los sólidos arquimedianos, los sólidos de Catalan, los prismas ni los antiprismas. Algunos sólidos de Johnson pueden generarse eliminando parte de un icosaedro regular, un proceso conocido como disminución. Son la pirámide pentagonal giroelongada, el icosaedro metabidisminuido y el icosaedro tridisminuido, que eliminan una, dos y tres pirámides pentagonales del icosaedro, respectivamente.^[59]

El icosaedro con aristas contraídas tiene una superficie similar a la de un icosaedro regular, pero con algunas caras situadas en el mismo plano.^[60]

Icosaedro esférico y un juguete llamado Impossiball

El icosaedro esférico representa un icosaedro regular proyectado sobre una esfera, una parte de poliedro esférico. Se puede modelar mediante arcos de gran círculo, creando límites como las aristas de un triángulo esférico.^[61] Identificados por Richard Buckminster Fuller, existen 31 círculos máximos en un icosaedro esférico.^[62] Su dual es el dodecaedro regular.^[61] La apariencia de esta forma se puede encontrar en Impossiball, un juguete similar al Cubo de Rubik.^[63]

Otra forma relacionada se puede obtener manteniendo los vértices de un icosaedro regular en sus posiciones originales y reemplazando ciertos pares de triángulos equiláteros por pares de triángulos isósceles. El poliedro resultante tiene la versión no convexa del icosaedro regular. Sin embargo, a veces se le conoce erróneamente como icosaedro de Jessen debido a su apariencia visual similar, a que posee la misma estructura combinatoria y simetría que el icosaedro de Jessen.^[64] La diferencia radica en que el no convexo no forma una estructura de tensegridad ni tiene diedros rectos.^[65]

El icosaedro regular es análogo al hexacosicoron, un politopo regular de 4 dimensiones.^[66] Este politopo tiene seiscientos tetraedros regulares como sus celdas.^[67] El icosaedro regular es una celda del panal en un espacio tridimensional hiperbólico.^[68]

• Grupo icosaédrico binario, un recubrimiento doble del grupo de rotaciones del icosaedro
  • Icosiano, un conjunto de cuaterniones con la misma simetría
• Invariante de Dehn
• Hexaquisicosaedro, un poliedro convexo de 120 caras cuyas caras son los dominios fundamentales en la simetría icosaédrica. Seis de estas regiones pueden representarse en cada cara de un icosaedro.
• Dogic, una versión icosaédrica del Cubo de Rubik
• Retícula geodésica
• Poliedro geodésico
• Poliedro de Goldberg, un poliedro convexo formado por hexágonos y pentágonos con simetría icosaédrica
• Hemicosaedro
• Proyección cartográfica poliédrica, proyecciones cartográficas que transforman el globo terráqueo en un poliedro
• Triacontaedro rómbico, un poliedro convexo de 30 caras con simetría icosaédrica cuyas caras se encuentran en los planos de simetría de orden 2
• Tensegridad
• Panal tetraédrico-icosaédrico, otro panal hiperbólico que incluye algunas celdas icosaédricas
• Zometool, un juguete de construcción basado en el sistema de simetría icosaédrica