Teoría cinética de los fluidos

La teoría cinética parte de la idea de que las propiedades observables de un fluido —presión, temperatura, viscosidad, conductividad térmica, entre otras— emergen del movimiento colectivo y de las colisiones entre un gran número de partículas. Para gases diluidos, la aproximación de partículas puntuales y colisiones binarias es válida y conduce a resultados analíticos claros; para líquidos y gases densos se requieren correcciones y modelos más sofisticados. ^[2]

• Gran número de partículas: N ≫ 1.
• Movimiento descrito por la mecánica clásica (o cuántica para situaciones donde sea necesaria).
• Aleatoriedad: distribución estadística en el espacio de fases.
• Para gases ideales: interacciones despreciables excepto durante colisiones binarias.
• Ergocidad: promediación temporal = promediación estadística en equilibrio.

La descripción cinética usa la función de distribución de una partícula en el espacio de fases \(f(\mathbf{r},\mathbf{v},t)\), tal que \(f(\mathbf{r},\mathbf{v},t)\,d^3r\,d^3v\) es el número esperado de partículas en el volumen de fases \(d^3r\,d^3v\) alrededor de \((\mathbf{r},\mathbf{v})\) en el tiempo \(t\).

La evolución temporal de \(f\) en un gas raro viene dada por la ecuación de Boltzmann: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {v} }f=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {col} }}$ donde el término del lado derecho representa el operador de colisiones (normalmente una integral que depende de la sección eficaz de dispersión). ^[3]

Integrando la ecuación cinética sobre velocidades con pesos adecuados se obtienen las ecuaciones de conservación macroscópicas:

• Conservación de masa (continuidad):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0.}$

• Conservación de cantidad de movimiento (momentum):

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {g} ,}$ donde \(\boldsymbol{\tau}\) es el tensor de tensiones viscosas que puede expresarse en términos de gradientes de velocidad mediante coeficientes viscosos obtenidos por teoría cinética.

• Conservación de energía: conduce a la ecuación de transporte de energía y establece la relación con la conductividad térmica.

A través de aproximaciones de cierre (por ejemplo, expansión de Chapman–Enskog) se puede derivar la forma macroscópica de las ecuaciones de Navier–Stokes para fluidos newtonianos, y expresiones teóricas para la viscosidad cinemática, conductividad térmica y difusión. ^[4]

La teoría cinética predice fórmulas para coeficientes de transporte (viscosidad \(\eta\), conductividad térmica \(k\), difusividad \(D\)) en función de propiedades microscópicas como masa molecular, sección eficaz de colisión y energía térmica media. En gases ideales a baja densidad, los coeficientes suelen depender fuertemente de la temperatura y débilmente de la densidad.

• Líquidos: En fluidos densos las interacciones de muchos cuerpos y las correlaciones espaciales requieren teorías más complejas (p. ej., teoría del funcional de la densidad, dinámicas de muchos cuerpos).
• Regímenes no locales/raros: En microfluídica y flujos rarificados (número de Knudsen grande) la descripción hidrodinámica clásica falla y la ecuación cinética (o ecuaciones de orden superior) es necesaria.
• Fenómenos cuánticos: A bajas temperaturas, efectos cuánticos (p. ej. superfluidez) obligan a una formulación cuántica estadística.

• Explicación microscópica de la presión y la temperatura en gases.
• Cálculo de propiedades de transporte en ingeniería y ciencia de materiales.
• Micro y nano-flujos donde las correcciones cinéticas son importantes.
• Astrofísica y plasma: descripción de plasmas mediante ecuaciones cinéticas (p. ej., ecuación de Vlasov y modelos de colisión).
• Simulaciones numéricas usando métodos de partículas (p. ej., dinámica molecular, método de Monte Carlo de colisiones directas) y métodos discretos de la ecuación cinética (p. ej., Lattice Boltzmann).

Las ideas fundamentales se desarrollaron en el siglo XIX con aportaciones de científicos como Daniel Bernoulli (concepto de presión dinámica), James Clerk Maxwell (distribución de velocidades) y Ludwig Boltzmann (ecuación de transporte e interpretación estadística de la entropía). El desarrollo formal de la ecuación de Boltzmann y las posteriores extensiones constituyen la base moderna de la teoría cinética. ^[5]

• Mecánica estadística
• Ecuación de Boltzmann
• Navier–Stokes
• Dinámica molecular
• Número de Knudsen
• Plasma (estado de la materia)