Teoría diferencial de Galois

En matemáticas, la integral indefinida de una función elemental puede ser una función no elemental. Un ejemplo bien conocido es la integral indefinida de la función elemental ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$, que es la función no elemental, la función de error ${\displaystyle \operatorname {erf} x}$, conocida en estadística. Las integrales indefinidas de las funciones elementales función sinc ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ y ${\displaystyle x^{x}}$ también son funciones no elementales.

Es importante señalar que el concepto de funciones elementales es meramente convencional. Si redefinimos las funciones elementales para incluir la función de error, entonces, según esta definición, la integral indefinida de ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ se consideraría una función elemental. Sin embargo, por muchas funciones que se añadan a la definición de funciones elementales, siempre habrá funciones cuyas integrales indefinidas no sean elementales.

Utilizando la teoría diferencial de Galois, es posible determinar qué integrales indefinidas de funciones elementales no pueden expresarse como funciones elementales. La teoría de Galois diferencial se basa en el marco de la teoría de Galois. Mientras que la teoría de Galois algebraica estudia las extensiones de campos de los campos, la teoría de Galois diferencial estudia las extensiones de los campos diferenciales —campos con una derivación D.

La mayor parte de la teoría diferencial de Galois es análoga a la teoría algebraica de Galois. La diferencia significativa en la estructura es que el grupo de Galois en la teoría diferencial de Galois es un grupo algebraico, mientras que en la teoría algebraica de Galois es un grupo profinito dotado de la topología de Krull.

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Para cualquier campo diferencial F con derivación D, existe un subcampo llamado «campo de constantes» de F, definido como:

Con(F) = {f ∈ F | Df = 0}.

El campo de constantes contiene el campo primo de F.

Dados dos campos diferenciales F y G, se dice que G es una extensión diferencial simple de F si ^[1] y satisface

∃¡'s∈F; Dt = Ds/s,

entonces G se denomina una extensión logarítmica de F.

Esto tiene la forma de una derivada logarítmica. Intuitivamente, t puede considerarse como el logaritmo de algún elemento s en F, correspondiendo a la regla de la cadena habitual. F no tiene necesariamente un logaritmo definido de forma única. Se pueden considerar diversas extensiones logarítmicas de F. De manera similar, una «extensión exponencial» satisface

∃«s»∈«F»; «Dt» = «tDs»,

y una «extensión diferencial» satisface

∃«s»∈«F»; «Dt» = «s».

Una extensión diferencial o una extensión exponencial se convierte en una extensión de Picard-Vessiot cuando el campo tiene característica cero y los campos constantes de los campos extendidos coinciden.

Teniendo en cuenta la salvedad anterior, este elemento puede considerarse como el exponencial de un elemento «s» en «F» . Por último, si existe una secuencia finita de campos intermedios de F a G con Con(F) = Con(G), de tal manera que cada extensión de la secuencia es o bien una extensión algebraica finita, una extensión logarítmica o una extensión exponencial, entonces G se denomina extensión diferencial elemental .

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea para ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in F}$:

${\displaystyle D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\cdots +a_{n-1}Dy+a_{n}y=0}$　…　(1).

Existen como máximo n soluciones linealmente independientes sobre el campo de las constantes. Una extensión G de F es una extensión de Picard-Vessiot para la ecuación diferencial (1) si G está generada por todas las soluciones de (1) y satisface Con(F) = Con(G).

Una extensión G de F es una extensión de Liouville si Con(F) = Con(G) es un campo algebraicamente cerrado, y existe una cadena creciente de subcampos

F = F₀ ⊂ F₁ ⊂ …

⊂ F_n = G de tal manera que cada extensión G_k+1 : F_k es o bien una extensión algebraica finita, una extensión diferencial o una extensión exponencial. Una extensión de Liouville del campo de funciones racionales C(x) está formada por funciones obtenidas mediante combinaciones finitas de funciones racionales, funciones exponenciales, raíces de ecuaciones algebraicas y sus integrales indefinidas. Evidentemente, las funciones logarítmicas, las funciones trigonométricas y sus inversas son funciones de Liouville sobre C(x), y en particular las extensiones diferenciales elementales son extensiones de Liouville.

Un ejemplo de una función que está contenida en una extensión elemental sobre C(x) pero no en una extensión de Liouville es la integral indefinida de ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$.

Para un campo diferencial F, si G es una extensión algebraica separable de F, la derivación de F se extiende de forma única a una derivación de G. Por lo tanto, G hereda de forma única la estructura diferencial de F.

Supongamos que F y G son campos diferenciales que satisfacen Con(F) = Con(G), y G es una extensión diferencial elemental de F. Sea a ∈ F y y ∈ G tales que Dy = a (es decir, G contiene la integral indefinida de a). Entonces existen c₁, …, c_n ∈ Con(F) y u₁, …, u_n, v ∈ F tales que

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv}$

(teorema de Liouville). En otras palabras, solo las funciones cuyas integrales indefinidas son elementales (es decir, en el peor de los casos contenidas en la extensión diferencial elemental de F) tienen la forma indicada en el teorema. Intuitivamente, solo las integrales indefinidas elementales pueden expresarse como la suma de un número finito de logaritmos de funciones simples.

Si G/F es una extensión de Picard-Vessiot, entonces que G sea una extensión de Liouville de F equivale a que el grupo de Galois diferencial tenga un componente de identidad solubile.^[2] Además, que G sea una extensión de Liouville de F equivale a que G sea incrustable en algún campo de extensión de Liouville de F.

• El campo de las funciones racionales de una variable compleja C(x) se convierte en un campo diferencial cuando se toma la derivación habitual con respecto a la variable x como derivación.

El campo de constantes de este campo es el campo de los números complejos C.

• Por el teorema de Liouville mencionado anteriormente, si ¡'f(z) y g(z) son funciones racionales en z, f(z) es distinta de cero y g(z) no es constante, entonces ${\displaystyle \textstyle \int f(z)e^{g(z)}\,dz}$ es una función elemental si y solo si existe una función racional h(z) tal que ${\displaystyle f(z)=h'(z)+h(z)g'(z)\,}$. El hecho de que la función de error y la integral del seno (integral indefinida de la función sinc) no puedan expresarse como funciones elementales se deduce inmediatamente de esta propiedad.

• En el caso de la ecuación diferencial ${\displaystyle y''+y=0}$, el grupo de Galois es el grupo multiplicativo de los números complejos con valor absoluto 1, también conocido como el grupo circular. Este es un ejemplo de grupo solvible y, de hecho, las soluciones a esta ecuación diferencial son funciones elementales (funciones trigonométricas en este caso).

• El grupo de Galois diferencial de la ecuación de Airy, ${\displaystyle y''-xy=0}$, sobre los números complejos es el grupo lineal especial de grado dos, SL(2,C). Este grupo no es soluble, lo que indica que sus soluciones no pueden expresarse mediante funciones elementales. En su lugar, las soluciones se conocen como funciones de Airy.

La teoría de Galois diferencial tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física. Se utiliza, por ejemplo, para determinar si una ecuación diferencial dada puede resolverse mediante cuadratura (integración). También tiene aplicaciones en el estudio de sistemas dinámicos, incluida la integrabilidad de los sistemas hamiltonianos en mecánica clásica.

Una aplicación significativa es el análisis de las condiciones de integrabilidad de las ecuaciones diferenciales, lo que tiene implicaciones en el estudio de las simetrías y las leyes de conservación en física.