Álgebra diferencial

Un anillo diferencial es un anillo ${\displaystyle R}$ dotado de una o más derivaciones, que son homomorfismos de grupos aditivos $${\displaystyle \partial :R\to R,}$$ tales que cada derivación ${\displaystyle parcial}$ satisface la regla del producto de Leibniz:

$${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),}$$

para cada ${\displaystyle r_{1},r_{2}\ enR.}$ Nótese que el anillo puede ser no conmutativo, por lo que la forma algo estándar ${\displaystyle d(xy)=xdy+ydx}$ de la regla del producto en entornos conmutativos puede ser falsa. Si ${\displaystyle M:R\times R\to R}$ es una multiplicación en el anillo, la regla del producto es la identidad

$${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \times \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \times \partial ).}$$

donde ${\displaystyle f\times g}$ significa la función que mapea un par ${\displaystyle (x,y)}$ al par ${\displaystyle (f(x),g(y)).}$

Obsérvese que un anillo diferencial es un álgebra diferencial (no necesariamente graduada) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Summarize Timeline Fact Check

Un cuerpo diferencial es un cuerpo conmutativo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ dotado de alguna forma de derivación. La conocida fórmula para diferenciar fracciones:

$${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {\partial (u)\ v-u,\partial (v)}{v^{2}}}}$$

se deduce de la regla del producto. En efecto, debemos tener

$${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\times v\right)=\partial (u)}$$

Por la regla del producto,

$${\displaystyle \partial \left({\frac {u}{v}}\right)\,v+{\frac {u}{v}}\,\partial (v)=\partial (u).}$$

Resolviendo con respecto a ${\displaystyle \partial (u/v),}$ obtenemos la identidad buscada.

Si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un cuerpo diferencial, entonces el cuerpo de constantes de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es ${\displaystyle k=\{u\ \in \mathbb {K}$ :\partial (u)=0\}.}

Un álgebra diferencial sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es una ${\displaystyle \mathbb {K} }$-álgebra ${\displaystyle A}$ en la que las derivaciones conmutan con la multiplicación escalar. Es decir, para todo ${\displaystyle k\in \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle x\in A,}$ $${\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.}$$ Si ${\displaystyle \eta$ :\mathbb {K} \to Z(A)} es el homomorfismo de anillos al centro de A que define la multiplicación escalar en el álgebra, se tiene $${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).}$$

Como en el caso anterior, la derivación debe obedecer a la regla de Leibniz sobre la multiplicación del álgebra, y debe ser lineal sobre la suma. Así, para todo ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle x,y\in A}$ $${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$$ y $${\displaystyle \partial (ax+by)=a,\partial x+b,\partial y.}$$