Triángulo extratangente

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El triángulo extratangente (△T_A T_B T_C, en color rojo) y el punto de Nagel (N, en azul) de un triángulo (△ABC, en color negro). Los círculos anaranjados son las circunferencias exinscritas del triángulo.

En geometría, el triángulo extratangente de un triángulo se forma al unir los puntos en los que las tres circunferencias exinscritas son tangentes al triángulo.

Los vértices del triángulo extratangentes se dan en coordenadas trilineales por:

T_{A}=0:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}

T_{B}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:0:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}

T_{C}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:0

o equivalentemente, siendo a, b, c las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente,

T_{A}=0:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}

T_{B}={\frac {-a+b+c}{a}}:0:{\frac {a+b-c}{c}}

T_{C}={\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:0.

Figuras relacionadas

Área

El área del triángulo extratangente, $K_{T}$ , viene dada por:

K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}

donde $K$ , $r$ y $s$ son el área, el radio de la circunferencia exinscrita y el semiperímetro del triángulo original, y $a$ , $b$ , y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo original.

Es la misma área que la del triángulo de las tangentes del incentro.^[2]

Referencias

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