Variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas

Suponga que las variables aleatorias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son definidas para asumir valores en ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$. Sean ${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$ y ${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (Y\leq y)}$ las funciones de distribución acumulada de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, respectivamente, y denótese su función de distribución de probabilidad acumulada conjunta como ${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x\land Y\leq y)}$.

Dos variables aleatorias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son idénticamente distribuídas si y solo si^[7] ${\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,\forall x\in I}$.

Dos variables aleatorias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son independientes si y solo si ${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,\forall x,y\in I}$. (Véase también Independencia (probabilidad) § Dos variables aleatorias.)

Dos variables aleatorias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son i.i.d. si son independientes e idénticamente distribuidas, es decir, si y solo si

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,&\forall x\in I\\&F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,&\forall x,y\in I\end{aligned}}}$ (Eq.1)

La definición se extiende, naturalmente, para más de dos variables aleatorias. Decimos que ${\displaystyle n}$ variables aleatorias ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ son i.i.d. si son independientes (véase también Independencia (probabilidad) § Más de dos variables aleatorias) e idénticamente distribuidas, es decir, si y solo si

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{X_{1}}(x)=F_{X_{k}}(x)\,&\forall k\in \{1,\ldots ,n\}{\text{ y }}\forall x\in I\\&F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdot \ldots \cdot F_{X_{n}}(x_{n})\,&\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\in I\end{aligned}}}$ (Eq.2)

donde ${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1}\land \ldots \land X_{n}\leq x_{n})}$ denota la función de distribución acumulada conjunta de ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

Muchos resultados de la inferencia estadística que se han demostrado bajo la suposición que las variables aleatorias son i.i.d. han podido ser demostrados también bajo una suposiciones más débiles sobre las distribución de las variables involucradas.

La idea más general qué comparte las propiedades principales de i.i.d. son las llamadas variables aleatorias intercambiables, introducidos por Bruno de Finetti. Esto significa que mientras las variables no pueden ser independientes, las posteriores se comportan como las anteriores, formalmente, cualquier valor de una secuencia finita es tan probable como cualquier permutación de aquellos, la distribución conjunta es invariante bajo el grupo simétrico.

En cálculo estocástico, las variables i.i.d. como un proceso de Lévy en tiempo discreto: cada variable representa un cambio de un tiempo a otro. Por ejemplo, una secuencia de pruebas de Bernoulli está interpretada como el Proceso de Bernoulli. Uno puede generalizar esto para incluir procesos de Lévy en tiempo continuo, y muchos procesos de Lévy pueden ser vistos como casos límites, por ejemplo, el proceso Wiener es el límite del proceso de Bernoulli.