Variedad abeliana

Definición

Una toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2g que posee la estructura de una variedad compleja. Siempre puede obtenerse como el cociente de un espacio vectorial complejo de dimensión g mediante un retículo de rango 2g. Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que es también una variedad algebraica proyectiva sobre el cuerpo de los números complejos. Invocando el teorema de embebido de Kodaira y el teorema de Chow, se puede definir equivalentemente una variedad abeliana compleja de dimensión g como un toro complejo de dimensión g que admite un fibrado en rectas positivo. Dado que son toros complejos, las variedades abelianas poseen la estructura de un grupo. Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento neutro correspondiente a la estructura de grupo. Una isogenia es un morfismo finito-a-uno.

Cuando un toro complejo posee la estructura de variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso ${\displaystyle g=1}$, la noción de variedad abeliana coincide con la de curva elíptica, y todo toro complejo da lugar a una curva de este tipo. Para ${\displaystyle g>1}$, se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.

Condiciones de Riemann

El siguiente criterio de Riemann determina si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si puede o no embeberse holomorfamente en un espacio proyectivo. Sea X un toro de dimensión g definido como ${\displaystyle X=V/L}$, donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es un retículo en V. Entonces, X es una variedad abeliana si y solo si existe una forma hermítica positiva definida sobre V cuya parte imaginaria toma valores enteros sobre ${\displaystyle L\times L}$. Tal forma sobre X se denomina habitualmente forma de Riemann (no degenerada). Al elegir una base para V y para L, es posible expresar esta condición de manera más explícita. Existen varias formulaciones equivalentes de este hecho, y todas ellas se conocen como las condiciones de Riemann.

Jacobiano de una curva algebraica

Toda curva algebraica C de genus ${\displaystyle g\geq 1}$ está asociada a una variedad abeliana J de dimensión g mediante una aplicación analítica de C en J. Como toro, J posee una estructura de grupo conmutativo, y la imagen de C genera J como grupo. Más precisamente, J está recubierta por ${\displaystyle C^{g}}$:^[1] cualquier punto de J proviene de una g-tupla de puntos de C. El estudio de las formas diferenciales sobre C —que dan lugar a las integrales abelianas con las que se inició la teoría— puede derivarse de la teoría, más sencilla e invariante por traslación, de los diferenciales sobre J. La variedad abeliana J recibe el nombre de variedad jacobiana de C para cualquier curva no singular C sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría birracional, su cuerpo de funciones es el cuerpo fijo del grupo simétrico sobre cartas g que actúa sobre el cuerpo de funciones de ${\displaystyle C^{g}}$.

Funciones abelianas

Una función abeliana es una función meromorfa sobre una variedad abeliana, que por lo tanto puede considerarse como una función periódica de n variables complejas que posee 2n períodos independientes. De manera equivalente, es una función perteneciente al cuerpo de funciones de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX existía un gran interés por las integrales hiperelípticas que podían expresarse en términos de integrales elípticas. Esto equivale a exigir que J sea un producto de curvas elípticas y que salvo que sea una isogenia.

Teoremas importantes

Un teorema de estructura importante relativo a las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka. Este establece que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda variedad abeliana ${\displaystyle A}$ es el cociente de la jacobiana de alguna curva, es decir, existe una sobreyección de variedades abelianas ${\displaystyle J\to A}$ donde ${\displaystyle J}$ es una jacobiana. Este teorema sigue siendo válido si el cuerpo base es infinito.^[2]

Variedad abeliana dual

A una variedad abeliana A sobre un cuerpo k se le asocia una variedad abeliana dual ${\displaystyle A^{\vee }}$ (sobre el mismo cuerpo), que es la solución al siguiente problema de módulos. Se define una familia de haces de rectas de grado 0 parametrizada por una k-variedad T como un haz de rectas L sobre ${\displaystyle A\times T}$ tal que

1. Para todo t en T, la restricción de L a ${\displaystyle A\times \{t\}}$ es un haz de rectas de grado 0
2. La restricción de L a ${\displaystyle \{0\}\times T}$ es un haz de rectas trivial (aquí 0 es el elemento neutro de A).

Existe una variedad ${\displaystyle A^{\vee }}$ y una familia de haces de rectas de grado 0, P (el haz de Poincaré), parametrizada por ${\displaystyle A^{\vee }}$, tal que a toda familia L sobre T se le asocia un morfismo único ${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$, de modo que L es isomorfo al regrediente (pullback) de P mediante el morfismo ${\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$. Al aplicar esto al caso en que T es un punto, se observa que los puntos de ${\displaystyle A^{\vee }}$ corresponden a haces de rectas de grado 0 sobre A. Por lo tanto, existe una operación de grupo natural en ${\displaystyle A^{\vee }}$ definida por el producto tensorial de haces de rectas, lo que la convierte en una variedad abeliana.

Esta asociación constituye una dualidad en el sentido de que es contravariantemente funtorial, es decir, asocia a todos los morfismos ${\displaystyle f\colon A\to B}$ sus morfismos duales ${\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$ de manera compatible, y existe un isomorfismo natural entre el doble dual ${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$ y ${\displaystyle A}$ (definido a través del haz de Poincaré). La n-torsión de una variedad abeliana y la n-torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general —para todo n—, los esquemas de grupos de n-torsión de variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.

Polarizaciones

Una polarización de una variedad abeliana es una isogenia de una variedad abeliana a su dual que es simétrico respecto a la doble dualidad de variedades abelianas y para el cual el retroceso del haz de Poincaré mediante el morfismo gráfico asociado es amplio (por lo que resulta análogo a una forma cuadrática definida positiva). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos de automorfismos finitos. Una polarización principal es una polarización que es un isomorfismo. Los jacobianos de curvas están dotados de forma natural de una polarización principal tan pronto como se elige un punto base racional arbitrario en la curva, y la curva puede reconstruirse a partir de su jacobiano polarizado cuando el género es ${\displaystyle >1}$. No todas las variedades abelianas con polarización principal son jacobianos de curvas; véase el problema de Schottky. Una polarización induce una involución de Rosati en el anillo de endomorfismos ${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$ de A.

Polarizaciones sobre los números complejos

Sobre los números complejos, una variedad abeliana polarizada puede definirse como una variedad abeliana A junto con la elección de una forma de Riemann H. Dos formas de Riemann ${\displaystyle H_{1}}$ y ${\displaystyle H_{2}}$ se denominan equivalentes si existen enteros positivos n y m tales que ${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$. La elección de una clase de equivalencia de formas de Riemann en A se denomina polarización de A. Sobre los números complejos, esto equivale a la definición de polarización dada anteriormente. Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo ${\displaystyle A\to B}$ de variedades abelianas tal que el regrediente de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A.

Ejemplo

Sea ${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$ tal que ${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$ no tenga raíces complejas repetidas. Entonces, el discriminante ${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$ es distinto de cero. Sea ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$, de modo que ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ es un subesquema abierto de ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. Entonces, ${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$ es un esquema abeliano sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$. Puede extenderse a un modelo de Néron sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$, que es un esquema de grupos suave sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$, pero el modelo de Néron no es propio y, por tanto, no es un esquema abeliano sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$.

Inexistencia

Víktor Abrashkin^[3] y Jean-Marc Fontaine^[4] demostraron independientemente que no existen variedades abelianas no nulas sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ con buena reducción en todos los primos. Equivalentemente, no existen esquemas abelianos no nulos sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. La demostración implica mostrar que las coordenadas de los puntos de torsión ${\displaystyle p^{n}}$ generan cuerpos de números con muy poca ramificación y, por ende, con un discriminante pequeño; mientras que, por otro lado, existen cotas inferiores para los discriminantes de los cuerpos de números.^[5]