Álgebra de Kac-Moody

La construcción inicial de álgebras de Lie simples de dimensión finita a partir de los enteros de Cartan, realizada por Élie Cartan y Wilhelm Killing, dependía del tipo. En 1966, Jean-Pierre Serre demostró que las relaciones de Claude Chevalley y Harish-Chandra, con simplificaciones de Nathan Jacobson, proporcionan una presentación definitoria del álgebra de Lie. De este modo, se podía describir un álgebra de Lie simple en términos de generadores y relaciones utilizando datos de la matriz de enteros de Cartan, que es definida positiva por naturaleza.

«Casi simultáneamente, en 1967, Victor Kac en la URSS y Robert Moody en Canadá desarrollaron lo que se convertiría en el álgebra de Kac-Moody. Kac y Moody observaron que, si se relajaban las condiciones de Wilhelm Killing, aún era posible asociar a la matriz de Cartan un álgebra de Lie que, necesariamente, sería de dimensión infinita». – A. J. Coleman.

En su tesis de 1967, Robert Moody consideró álgebras de Lie cuya matriz de Cartan ya no era definida positiva. Esto aún daba lugar a un álgebra de Lie, pero ahora de dimensión infinita. Simultáneamente, en Moscú se estudiaban álgebras de Lie con grado Z, donde I. L. Kantor introdujo y estudió una clase general de álgebras de Lie, incluyendo lo que eventualmente se conoció como álgebras de Kac-Moody. Victor Kac también estudiaba álgebras de Lie simples o casi simples con crecimiento polinomial. Se desarrolló una rica teoría matemática de las álgebras de Lie de dimensión infinita. En (Kac 1990) se ofrece una descripción del tema, que también incluye trabajos de muchos otros autores. Véase también (Seligman 1987).

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Dada una Matriz de Cartan generalizada ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}}$,^[3] se puede construir un álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ definida por los generadores e i ${\displaystyle h_{i}}$, y ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ y las relaciones dadas por:

• ${\displaystyle \left[h_{i},h_{j}\right]=0\;,\quad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$;
• ${\displaystyle \left[h_{i},e_{j}\right]=c_{ij}e_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[h_{i},f_{j}\right]=-c_{ij}f_{j}}$;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}h_{i}}$, dónde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ es Delta de Kronecker;
• Si ${\displaystyle i\neq j}$ (entonces ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$) entonces ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ y ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$, dónde ${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],} es la representación adjunta de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

La definición es agruparía del siguiente modo:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}C&\in &\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {Z} )\\C_{ii}&=&2\\C_{ij}&<&0\qquad (i\neq j)\\C_{ij}=0&\iff &C_{ji}=0\\{}[h_{i},h_{j}]&=&0\\{}[h_{i},e_{j}]&=&C_{ij}e_{j}\\{}[h_{i},f_{j}]&=&-C_{ij}f_{j}\\{}[e_{i},f_{j}]&=&\delta _{ij}h_{i}\\\operatorname {ad} (e_{i})^{1-C_{ij}}(e_{j})&=&\operatorname {ad} (f_{i})^{1-C_{ij}}(f_{j})=0\qquad (i\neq j)\end{array}}}$

Bajo el supuesto de "simetrización", ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)}$ se identifica con la subálgebra derivada ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'(C)=[{\mathfrak {g}}(C),{\mathfrak {g}}(C)]}$ del álgebra afín de Kac-Moody ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)}$ definido a continuación.

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Supongamos que nos dan un ${\displaystyle n\times n}$ matriz de Cartan generalizada C = (c_ij) de rango r. Para cada ${\displaystyle C}$ de este tipo, existe una única "realización" salvo isomorfismo de ${\displaystyle C}$, Es decir, un triple ${\displaystyle ({\mathfrak {h}},\{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n},\{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n},}$) dónde ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ es un espacio vectorial complejo, ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$ es un subconjunto de elementos de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, y ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ es un subconjunto de Espacio dual ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ que cumplan las siguientes tres condiciones: ^[4]

1. El espacio vectorial ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ tiene dimensión ${\displaystyle 2n-r\,}$
2. Los conjuntos ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1}^{n}}$ y ${\displaystyle \{\alpha _{i}^{\vee }\}_{i=1}^{n}}$ son linealmente independientes y
3. Por cada ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,\alpha _{i}\left(\alpha _{j}^{\vee }\right)=c_{ji}}$.

Los ${\displaystyle \alpha _{i}}$ son análogos a los Álgebra de Lie semisimple De un álgebra de mentira semi-simple, y el ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$ a las simples coraíces.

Luego definimos el "álgebra de Kac-Moody" asociada a ${\displaystyle C}$ como el álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}(C)}$ definido por generadores ${\displaystyle e_{i}}$ y ${\displaystyle f_{i}\left(i\in \{1,\ldots ,n\}\right)}$ y los elementos de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ y relaciones

• ${\displaystyle \left[h,h'\right]=0\ }$ para ${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle \left[h,e_{i}\right]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, para ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle \left[h,f_{i}\right]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, para ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle \left[e_{i},f_{j}\right]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, dónde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ es el delta de Kronecker;
• Si ${\displaystyle i\neq j}$ (so ${\displaystyle c_{ij}\leq 0}$) entonces ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ y ${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$, dónde ${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y],} es el Representación adjunta de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Un real (posiblemente de dimensión infinita) Álgebra de Lie también se considera un álgebra de Kac-Moody si su Complejificación es un álgebra de Kac-Moody.

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${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ es el análogo de una subálgebra de Cartan para el álgebra de Kac-Moody ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Si ${\displaystyle x\neq 0}$ es un elemeto de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ tal que

${\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x}$

Para algunos ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\backslash \{0\}}$, entonces ${\displaystyle x}$ se llama vector raíz y ${\displaystyle \lambda }$ es una raíz de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. (El funcional cero no se considera una raíz por convención). El conjunto de todas las raíces de ${\displaystyle \Delta }$ a menudo se denota por ${\displaystyle \Delta }$y a veces por.${\displaystyle R}$ Para una raíz dada ${\displaystyle \lambda }$, se denota por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ el espacio raíz de; eso es,

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

De las relaciones definitorias de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ esoy ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ Además, si ${\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}}$ y ${\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}}$, entonces ${\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}}$ ${\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}}$por la identidad de Jacobi.

Un resultado fundamental de la teoría es que cualquier álgebra de Kac-Moody se puede descomponer en la suma directa de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ y sus espacios de raíces, es decir

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

y que cada raíz ${\displaystyle \lambda }$se puede escribir como ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ con todo el ${\displaystyle z_{i}}$ siendo números enteros del mismo signo.

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Las propiedades de un álgebra de Kac-Moody están controladas por las propiedades algebraicas de su matriz de Cartan generalizada C. Para clasificar las álgebras de Kac-Moody, basta con considerar el caso de una matriz indescomponible C ; es decir, suponer que no existe descomposición del conjunto de índices I en una unión disjunta de subconjuntos no vacíos I⁻⁴ e I⁻⁴ tal que C⁻⁴ _{= 0} para todo i en I⁻⁴ y j en I⁻⁴ . Cualquier descomposición de la matriz _{de Cartan generalizada conduce a la descomposición por} suma directa del álgebra de Kac-Moody correspondiente _:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}(C)\simeq {\mathfrak {g}}\left(C_{1}\right)\oplus {\mathfrak {g}}\left(C_{2}\right),}$

donde las dos álgebras de Kac-Moody en el lado derecho están asociadas con las submatrices de C correspondientes a los conjuntos de índices I ₁ e I ₂ .

Una subclase importante de las álgebras de Kac-Moody corresponde a las matrices de Cartan generalizadas simetrizables C , que pueden descomponerse como DS , donde D es una matriz diagonal con valores enteros positivos y S es una matriz simétrica . Bajo el supuesto de que C es simetrizable e indescomponible, las álgebras de Kac-Moody se dividen en tres clases:

• Una matriz definida positiva S da lugar a un álgebra de Lie simple de dimensión finita .
• Una matriz semidefinida positiva S da lugar a un álgebra de Kac-Moody de dimensión infinita de tipo afín , o un álgebra de Lie afín .
• Una matriz indefinida S da lugar a un álgebra de Kac-Moody de tipo indefinido .
• Como las entradas diagonales de C y D son positivas, S no puede ser definida negativa o semidefinida negativa.

Las matrices de Cartan generalizadas, simetrizables e indecomponibles, de tipo finito y afín se han clasificado completamente. Corresponden a diagramas de Dynkin y diagramas de Dynkin afines . Se sabe poco sobre las álgebras de Kac-Moody de tipo indefinido, aunque los grupos correspondientes a estas álgebras fueron construidos sobre cuerpos arbitrarios por Jacques Tits.^[3]

Entre las álgebras de Kac-Moody de tipo indefinido, la mayor parte del trabajo se ha centrado en las de tipo hiperbólico , para las cuales la matriz S es indefinida, pero para cada subconjunto propio de I , la submatriz correspondiente es definida positiva o semidefinida positiva. Las álgebras hiperbólicas de Kac-Moody tienen un rango máximo de 10 y han sido completamente clasificadas.^[4]  Hay infinitas de rango 2 y 238 de rangos entre 3 y 10 .

• Monstrous moonshine
• Álgebra de Lie
• Álgebra de Lie soluble
• Álgebra de Lie simple
• Álgebra de Lie semisimple
• Super álgebra de Lie

• Roger William Carter (2005). Lie Algebras of Finite and Affine Type (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 0-511-20053-6.
• Zhe-xian Wan (1991). Introduction To Kac-moody Algebras (en inglés). World Scientific Publishing Company. ISBN 981-45-1390-3.