Équation G

L'équation G s'énonce comme suit^[6],[7],[8] :

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=S_{T}|\nabla G|}$

où

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ est le champ de vitesse d'écoulement,
• ${\displaystyle S_{T}}$ est la vitesse de flamme locale.

L'emplacement de la flamme est donné par ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)=G_{o}}$ qui peut être défini arbitrairement de telle sorte que ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)>G_{o}}$ soit la région des gaz brûlés et ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}}$ soit la région des gaz non brûlés. Le vecteur normal à la flamme, pointant vers le gaz brûlé, est ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla G/|\nabla G|}$.

Selon la théorie Matalon-Matkowsky-Clavin-Joulin la vitesse de combustion de la flamme étirée (en), pour une faible courbure et une faible déformation, est donnée par :

${\displaystyle {\frac {S_{T}}{S_{L}}}=1+{\mathcal {M}}_{c}\delta _{L}\nabla \cdot \mathbf {n} +{\mathcal {M}}_{s}\tau _{L}\mathbf {n} \mathbf {n}$ :\nabla \mathbf {v} }

où

• ${\displaystyle S_{L}}$ est la vitesse de combustion de la flamme pré-mélangée,
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{c}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{s}}$ sont les deux nombre de Markstein associés au terme de courbure ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {n} }$ et au terme ${\displaystyle \mathbf {n} \mathbf {n}$ :\nabla \mathbf {v} } correspondant à la déformation d'écoulement imposée à la flamme,
• ${\displaystyle \delta _{L}}$ est l'épaisseur d'une flamme plane,
• ${\displaystyle \tau _{L}=D_{T,u}/S_{L}^{2}}$ est le temps de séjour de la flamme plane où ${\displaystyle D_{T,u}}$ représente la diffusivité thermique dans le mélange de gaz imbrûlés.

L'équation G a une expression exacte pour un brûleur à fente simple. Considérons un brûleur à fente plan bidimensionnel de largeur de fente ${\displaystyle b}$. Le mélange de réactifs pré-mélangés est introduit dans la fente par le bas avec une vitesse constante ${\displaystyle \mathbf {v} =(0,U)}$, où la coordonnée ${\displaystyle (x,y)}$ est choisie de telle sorte que ${\displaystyle x=0}$ se trouve au centre de la fente et ${\displaystyle y=0}$ se trouve à l'emplacement de l'embouchure de la fente. Lorsque le mélange est enflammé, une flamme pré-mélangée se développe depuis l'embouchure de la fente jusqu'à une certaine hauteur ${\displaystyle y=L}$ sous la forme d'un dièdre bidimensionnel avec un angle ${\displaystyle \alpha }$. Pour simplifier, supposons ${\displaystyle S_{T}=S_{L}}$, ce qui est une bonne approximation sauf près du coin du dièdre où les effets de courbure deviennent importants. Dans le cas stationnaire, l'équation de G se réduit à :

${\displaystyle U{\frac {\partial G}{\partial y}}=S_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

Si une solution à variables séparées ${\displaystyle G(x,y)=y+f(x)}$ est introduite, alors l'équation devient :

${\displaystyle U=S_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-S_{L}^{2}}}{S_{L}}}}$

qui après intégration donne

${\displaystyle f(x)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+C\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+y+C}$

Sans perte de généralité, on peut choisir l'emplacement de la flamme à ${\displaystyle G(x,y)=G_{o}=0}$. Puisque la flamme est attachée à l'embouchure de la fente ${\displaystyle |x|=b/2,\ y=0}$, la condition limite est ${\displaystyle G(b/2,0)=0}$, qui peut être utilisée pour évaluer la constante ${\displaystyle C}$. Ainsi, le champ scalaire est :

${\displaystyle G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y}$

À la pointe de la flamme, on a ${\displaystyle x=0,\ y=L,\ G=0}$, ce qui permet de déterminer la hauteur de la flamme :

${\displaystyle L={\frac {b\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{2S_{L}}}}$

et l'angle de la flamme ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {S_{T}}{\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}}}$

En utilisant l'identité ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)}$ on a :

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {S_{L}}{U}}}$

Cette expression est souvent utilisée pour définir la vitesse de combustion ${\displaystyle S_{L}}$ en mesurant l'angle de dièdre.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « G equation » (voir la liste des auteurs).

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