2-forme de courbure

Soient :

• ${\displaystyle G}$, un groupe de Lie ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}$, l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$ ;
• ${\displaystyle B}$, une variété différentielle ;
• ${\displaystyle \pi :P\to B}$, un ${\displaystyle G}$-fibré principal sur ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$, la représentation adjointe de ${\displaystyle G}$ sur son algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}$, le fibré adjoint de ${\displaystyle P}$ sur ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle \wedge$ :\Omega ^{p}(P;\mathbb {R} )\times \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{p+q}(P;\mathbb {R} )} le produit extérieur sur les ${\displaystyle k}$-formes différentielles réelles sur ${\displaystyle P}$ ;
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ;
• ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(P;{\mathfrak {g}})\times \Omega ^{q}(P;{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{p+q}(P;{\mathfrak {g}})}$ le produit wedge-crochet sur les ${\displaystyle k}$-formes différentielles à valeurs en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sur ${\displaystyle P}$, défini par les combinaisons linéaires de :

  ${\displaystyle [(\alpha _{1}\otimes \xi _{1})\wedge (\alpha _{2}\otimes \xi _{2})]:=(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2})\otimes [\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \alpha _{1}\in \Omega ^{p}(P;\mathbb {R} ),\;\alpha _{2}\in \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} ),\;\xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}$ ;

• ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$, une 1-forme de connexion sur ${\displaystyle P}$.

La 2-forme de courbure sur ${\displaystyle P}$ de la 1-forme de connexion ${\displaystyle A}$ est par définition :

${\displaystyle F_{A}^{\sharp }=(dA)_{\mathrm {hor} }=(dA)(\mathrm {hor} (\cdot ),\mathrm {hor} (\cdot ))}$.

La 2-forme de courbure sur ${\displaystyle P}$ peut aussi s'écrire comme :

${\displaystyle F_{A}^{\sharp }:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}$.

La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)}$.

En préquantification, la 2-forme de courbure du fibré préquantique est proportionnelle à la forme symplectique.

Le tenseur électromagnétique de Maxwell est la 2-forme de courbure d'une connexion venant d'un ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$-fibré principal sur l'espace-temps.

Dans la théorie de jauge, la théorie de Yang-Mills, la théorie de Chern-Simons, la 2-forme de courbure joue un rôle primordial.

Le tenseur de courbure de Riemann en géométrie riemannienne est un autre exemple de 2-forme de courbure.

• (en) S. Kobayashi (en) et K. Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry (en), 1963
• (en) S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986

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