54-graphe de Ellingham-Horton

En 1971, le mathématicien et cryptanalyste William Tutte conjecture qu'il n'existe pas de graphe 3-sommet-connexe qui soit cubique, biparti et non-hamiltonien^[1]. Mais J. D. Horton trouve un contre-exemple à 96 sommets, le graphe de Horton, publié par Bondy & Murty en 1976^[2].

Après cela, d'autres contre-exemples sont découverts. En 1982, c'est un graphe à 92 sommets, encore construit par Horton (le 92-graphe de Horton)^[3], puis, en 1983, Owens trouve un contre-exemple d'ordre 78^[4].

Avec Ellingham, Horton publie deux contre-exemples à la conjecture de Tutte : un graphe d'ordre 78 en 1981 (le 78-graphe de Ellingham-Horton)^[5] et un graphe d'ordre 54 en 1983 (le 54-graphe de Ellingham-Horton)^[6]. À l'heure actuelle, ce graphe à 54 sommets est le plus petit graphe non-hamiltonien biparti cubique 3-sommet-connexe connu.

Le diamètre du 54-graphe de Ellingham-Horton, l'excentricité maximale de ses sommets, est 10, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 9 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le nombre chromatique du 54-graphe de Ellingham-Horton est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du 54-graphe de Ellingham-Horton est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

• Théorie des graphes

• (en) Eric W. Weisstein, Tutte Conjecture (MathWorld)

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