Algèbre de Lie Monstre
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En mathématiques, l'algèbre de Lie Monstre est une algèbre de Kac-Moody généralisée (en) de dimension infinie sur laquelle agit le groupe Monstre, qui a été utilisée pour prouver les conjectures du « Monstrous moonshine ».
L'algèbre de Lie monstre est une algèbre de Lie graduée sur Z2. La composante de degré (m, n) est de dimension cmn si (m, n) ≠ (0, 0) et de dimension 2 si (m, n) = (0, 0), où les entiers cn sont les coefficients de qn du j-invariant, vu comme fonction modulaire elliptique
La sous-algèbre de Cartan est le sous-espace de dimension 2 de degré (0, 0), de sorte que l’algèbre de Lie Monstre est de rang 2.
L'algèbre de Lie Monstre n'a qu'une seule racine réelle simple, donnée par le vecteur (1, −1) ; le groupe de Weyl est d'ordre 2, il agit par la volte (m, n) → (n, m). Les racines imaginaires simples sont les vecteurs (1, n) pour n entier naturel non nul, elles sont de multiplicité cn.
La formule du dénominateur de l'algèbre de Lie Monstre est la formule du produit du j-invariant :
La formule du dénominateur, parfois appelée « identité de produit infini de Koike-Norton-Zagier », a été découverte dans les années 1980. Plusieurs mathématiciens, dont Masao Koike, Simon P. Norton et Don Zagier, ont fait cette découverte de manière indépendante[1].
Construction
On dispose de deux façons de construire l'algèbre de Lie Monstre[réf. nécessaire]. Comme il s'agit d'une algèbre de Kac-Moody généralisée dont les racines simples sont connues, elle peut être définie de façon explicite par générateurs et relations ; cependant, cette présentation ne permet pas de lire une action du groupe Monstre.
Elle peut également être construite à partir de l'algèbre vertex du Monstre en utilisant le théorème de Goddard-Thorn (en) en théorie des cordes. Cette construction est beaucoup plus difficile mais elle donne une action naturelle du groupe Monstre[1].
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Monster Lie algebra » (voir la liste des auteurs).
- 1 2 Borcherds, Richard E., « What Is ... the Monster? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 49, no 2, , p. 1076-1077 (lire en ligne).
Bibliographie
- Richard Borcherds, « Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster », Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 83, no 10, , p. 3068-71 (PMID 16593694, PMCID 323452, DOI 10.1073/pnas.83.10.3068
, Bibcode 1986PNAS...83.3068B) - Igor Frenkel, James Lepowsky et Arne Meurman, Vertex operator algebras and the Monster, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics » (no 134), (ISBN 0-12-267065-5, lire en ligne)
- Victor Kac, Vertex algebras for beginners, American Mathematical Society, coll. « University Lecture Series » (no 10), (ISBN 0-8218-0643-2) ; Victor Kac, deuxième édition revue et augmentée, (ISBN 0-8218-1396-X, lire en ligne)
- (en) Victor Kac, « Corrections to the book "Vertex algebras for beginners", second edition, by Victor Kac », .
- Roger W. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 96), (ISBN 0-521-85138-6) (texte introductif contenant une brève présentation de l'algèbre de Borcherds dans le chapitre 21)
