Sous-algèbre de Cartan

Soit une algèbre de Lie semi-simple de dimension finie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ sur un corps algébriquement clos de caractéristique 0, une sous-algèbre de Cartan ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ a les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ est abélienne.
• Notons la représentation adjointe ${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}  ; les éléments de son image ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ sont semi-simples (c'est-à-dire diagonalisables).

(Comme indiqué précédemment, une sous-algèbre de Cartan peut en fait être caractérisée comme une sous-algèbre maximale parmi celles ayant les deux propriétés ci-dessus.)

Ces deux propriétés impliquent que les opérateurs en ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ sont simultanément diagonalisables et qu’il existe une décomposition en somme directe de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ comme

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

où

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ pour tout }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$ .

Soit ${\displaystyle \Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}}$. Alors ${\displaystyle \Phi }$ est un système de racines et ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$, c'est-à-dire le centralisateur de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ coïncide avec ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. La décomposition ci-dessus peut alors s’écrire :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)}$

Il s'avère que pour chaque ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ a dimension un et donc :

${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$ .

Étant donné une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ semi-simple sur un corps de caractéristique ${\displaystyle 0}$, et une représentation d'algèbre de Lie$${\displaystyle \sigma$$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V),} il existe une décomposition liée à la sous-algèbre de Cartan de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Pour tout ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$, définissons $${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ pour tout }}h\in {\mathfrak {h}}\},}$$appelé espace de poids associé à ${\displaystyle \lambda }$ ; on a une décomposition de la représentation en termes de ces espaces de poids :$${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }.}$$Un ${\displaystyle \lambda }$ tel que ${\displaystyle V_{\lambda }\neq \{0\}}$ est appelé poids de la ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-représentation ${\displaystyle V}$.

Il s’avère que ces poids peuvent être utilisés pour classer les représentations irréductibles de l’algèbre de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ . Pour une ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-représentation ${\displaystyle V}$ irréductible de dimension finie, il existe un unique poids ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ en ce qui concerne un ordre partiel sur ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$. De plus, étant donné un ${\displaystyle \lambda \in \Phi }$ tel que ${\displaystyle \langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N} }$ pour toute racine positive ${\displaystyle \alpha \in \Phi ^{+}}$, il existe une unique représentation irréductible ${\displaystyle L^{+}(\lambda )}$. Cela signifie que le système racine ${\displaystyle \Phi }$ contient toutes les informations sur la théorie des représentations de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^{[1]pg 240}.

Un sous-groupe de Cartan d'un groupe de Lie est un sous-groupe dont l'algèbre de Lie est une sous-algèbre de Cartan. Il n'existe pas de convention concernant la connexité d'un tel sous-groupe. Un sous-groupe de Cartan d'un groupe de Lie connexe compact est un sous-groupe abélien connexe maximal (un tore maximal). Son algèbre de Lie est une sous-algèbre de Cartan.

Pour les groupes de Lie compacts non-connexes, il existe plusieurs définitions non équivalentes d'un sous-groupe de Cartan. Le plus courant semble être celle donnée par David Vogan, qui définit un sous-groupe de Cartan comme étant le groupe d'éléments qui normalisent un tore maximal et fixent la chambre de Weyl fondamentale. Ces sous-groupes de Cartan ne doivent pas nécessairement être abéliens en général.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cartan subalgebra » (voir la liste des auteurs).

• Armand Borel, Linear algebraic groups, vol. 126, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1991 (ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012) 
• Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, vol. 222, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2015 (ISBN 978-3319134666)
• Nathan Jacobson, Lie algebras, New York, Dover Publications, 1979 (ISBN 978-0-486-63832-4, MR 559927)
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1972 (ISBN 978-0-387-90053-7, lire en ligne ) 
•  V.L. Popov, Cartan subalgebra
• Anthony William Knapp et David A. Vogan, Cohomological Induction and Unitary Representations, 1995 (ISBN 978-0-691-03756-1)

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