Algèbre de composition
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En mathématiques, les algèbres de composition sur un corps commutatif sont des structures algébriques qui généralisent simultanément le corps des nombres complexes, le corps non commutatif des quaternions de Hamilton et l'algèbre des octonions de Cayley.
Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque), et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ni – a priori du moins – de dimension finie.
Une algèbre de composition sur K est une algèbre A sur K (non nécessairement associative ou pas nécessairement de dimension finie) qui est unitaire telle qu'il existe une forme quadratique q sur l'espace vectoriel sous-jacent à A qui est non dégénérée (c'est-à-dire dont la forme bilinéaire symétrique φ associée à q est non dégénérée), telle que q(1) = 1 et telle que, quels que soient les éléments x et y de A, q(xy) = q(x)q(y), et il existe alors une unique telle forme quadratique q, et, pour tout élément x de A, on note N(x) et on appelle norme de x (à ne pas confondre avec une norme d'algèbre) le scalaire q(x) de K. Quels que soient les éléments x et y de A, on note N(x, y) l'élément φ(x, y) = q(x + y) – q(x) – q(y) de K.
Exemples
- Si K est le corps R des nombres réels, alors le corps R, le corps C des nombres complexes, le corps H des quaternions de Hamilton et l'algèbre O des octonions de Cayley sont des algèbres de composition, où, pour tout élément x de cette algèbre, N(x) est le carré de la norme euclidienne de x.
- Si la caractéristique de K est différente de 2, K est une algèbre de composition sur K, et pour tout élément x de K, on N(x) = x2.
- Toute algèbre étale quadratique sur K est une algèbre de composition sur K. En particulier, l'algèbre produit K × K est une algèbre de composition et toute extension quadratique séparable de K est une algèbre de composition (si la caractéristique de K est différente de 2, toute extension quadratique est séparable).
- Toute algèbre de quaternions sur K est une algèbre de composition sur K. En particulier l'algèbre M2(K) des matrices carrées d'ordre 2 est une algèbre de composition.
- Toute algèbre d'octonions sur K est une algèbre de composition sur K (non associative (en)).
Toute algèbre de composition A sur K est alternative (c'est-à-dire que, quels que soient les éléments x et y de A, la sous-algèbre unitaire de A engendrée par x et y est associative).
Pour tout surcorps commutatif L de K, la L-algèbre L ⊗K A déduite d'une algèbre de composition A sur K par extension des scalaires de K à L est une algèbre de composition sur L.
Trace et conjugaison
On note A une algèbre de composition sur K.
Pour tout élément x de A, on appelle trace de x et on note T(x) l'élément N(x, 1) = N(x + 1) – N(x) – 1 de K.
Pour tout élément x de A, on appelle conjugué de x et on note x l'élément T(x).1 – x de A.
Voici des propriétés de la conjugaison, de la norme et de la trace
- L'application x ↦ x de A dans A est un antiautomorphisme involutif de l'algèbre A : elle est K-linéaire et quels que soient les éléments x et y de A, on a xy = y x et le conjugué du conjugué de x est x.
- Pour tout élément x de A, on N(x) = x x et T(x) = x + x.
- La fonction x ↦ T(x) de A dans K est une forme linéaire non identiquement nulle.
- T(1) = 2.
- Quels que soient x et y dans A, on a T(xy) = N(x + y) – N(x) – N(y).
- Pour qu'un élément x de A soit inversible dans A (c'est-à-dire tel qu'il existe un élément y de A tel que xy = yx = 1, et il existe alors un unique tel élément, que l'on note x–1), il faut et il suffit que N(x) soit non nul, et alors x–1 = x/N(x).
- Si A est associative, la fonction x ↦ N(x), du groupe A* des éléments inversibles de A dans K, est un morphisme de groupes.
Une propriété fondamentale est la suivante : pour tout élément x de A, on a
