Anyon

Le concept d'anyon est utile lorsqu’on s’intéresse à un système à deux dimensions tel que le graphène ou l’effet Hall quantique. Dans un espace à trois dimensions ou plus, les particules ne peuvent être que des bosons ou des fermions, de comportements statistiques différents : les bosons obéissent à la statistique de Bose-Einstein et les fermions à celle de Fermi-Dirac. Les états de particules liées, dans le formalisme de la mécanique quantique, s'expriment selon des formules représentant des permutations entre particules. On a en particulier, pour l'état de deux particules (avec la notation bra-ket) :

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =\pm \left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

où le premier élément dans le ket ${\displaystyle \left|\cdot \right\rangle }$ correspond à l’état de la particule 1 et le second à celui de la particule 2. Le signe est « ${\displaystyle +}$ » quand les deux particules sont des bosons, et « ${\displaystyle -}$ » quand ce sont des fermions (les états composites boson/fermion ne sont pas possibles).

Cependant, dans les systèmes à deux dimensions, les quasiparticules peuvent obéir à des statistiques qui varient de façon continue entre les statistiques de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac. Cela a été montré pour la première fois par Jon Magne Leinaas et Jan Myrheim de l’université d’Oslo en 1977^[1]. Dans notre exemple de deux particules ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\,\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

avec ${\displaystyle i}$ l’unité imaginaire utilisée dans l’algèbre des nombres complexes et ${\displaystyle \theta }$ un nombre réel. Rappelons que ${\displaystyle e^{i\cdot 0}=1}$, et que ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$. Ainsi dans le cas ${\displaystyle \theta =\pi }$, nous retrouvons bien la statistique de Fermi-Dirac (signe moins) et dans le cas ${\displaystyle \theta =0}$ ou ${\displaystyle \theta =2\pi }$ la statistique de Bose-Einstein (signe plus). La phase est de ${\displaystyle \theta }$ dans les autres cas. Frank Wilczek inventa le terme « anyon »^[2] pour décrire de telles particules, de l'anglais any (« n'importe quel ») signifiant que le déphasage après permutation peut prendre n'importe quelle valeur.