Base (topologie)
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Cet article est une ébauche concernant la topologie.
En mathématiques, une base d'une topologie est un ensemble d'ouverts tel que tout ouvert de la topologie soit une réunion d'éléments de cet ensemble. Ce concept est utile parce que de nombreuses propriétés d'une topologie se ramènent à des énoncés sur une de ses bases et beaucoup de topologies sont faciles à définir par la donnée d'une base.
Soit (X, T) un espace topologique.
Un réseau[1] de T est un ensemble N de parties de X tel que tout ouvert U de T est une réunion d'éléments de N, autrement dit : pour tout point x de U, il existe dans N une partie incluse dans U et contenant x.
Une base de T est un réseau constitué d'ouverts.
Propriétés
Un ensemble B de parties de X est une base d'une topologie sur X si et seulement s'il vérifie les deux conditions suivantes :
- B est un recouvrement de X ;
- L’intersection de deux éléments de B est une union (d’un nombre quelconque) d’éléments de B.
Une condition suffisante pour que 2. soit vérifiée est que B soit stable par intersections finies.
Si B vérifie 1. et 2., il existe une unique topologie sur X dont B est une base : la topologie engendrée par B. Ses ouverts sont toutes les réunions d'éléments de B et pour tout ouvert O, on peut expliciter l'union qui forme O (notamment pour éviter l'axiome du choix) : O est la réunion de tous les éléments de B qui sont inclus dans O.
Si B est une base d'une topologie T, tout ensemble d'ouverts de T qui contient B est aussi une base de T.
Pour toute topologie T sur X, un ensemble B de parties de X est une base de T si et seulement si, pour tout point x de X, le sous-ensemble des éléments de B qui contiennent x est une base de voisinages de x[2].
Objets définis en termes de bases
- Une topologie d'ordre est généralement définie par une collection d'ensembles analogues à des intervalles ouverts.
- Une topologie métrique est généralement définie par une collection de boules ouvertes.
- Un espace à base dénombrable possède précisément une base dénombrable.
- Une topologie discrète possède une base constituée des singletons.
