Axiome du choix

L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit :

(0) « Pour tout ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chaque ensemble A appartenant à X associe un élément de cet ensemble A. »

ce qui s'écrit formellement : ${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\Longrightarrow \exists f:X\rightarrow \bigcup X\;\forall A\in X\;(f(A)\in A)\right]}$^[4].

L'appel à cet axiome n'est pas nécessaire si X est un ensemble fini car c'est une conséquence de la définition d'ensemble non vide (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Dans ce cas, le résultat se montre par récurrence sur le nombre d'éléments de X.

Il y a d'autres cas où une fonction de choix f peut être définie sans l'axiome du choix. Par exemple, pour un ensemble X d'ensembles non vides d'entiers naturels, on peut définir une fonction de choix en posant, pour A un élément de X, f(A) égal au plus petit élément de A (on s'est servi de la propriété de bon ordre sur les entiers naturels, et non de l'axiome du choix). Cependant dans le cas général, l'existence d'une fonction de choix repose sur l'axiome ci-dessus, par exemple pour démontrer le théorème de König.

L'axiome du choix est souvent utilisé par l'intermédiaire de l'un des deux énoncés suivant qui lui sont équivalents^[9] (à comprendre relativement aux axiomes de la théorie ZF) :

• tout ensemble peut être muni d'un bon ordre (théorème de Zermelo) ;
• si E est un ensemble inductif, c'est-à-dire que E est un ensemble ordonné dont toutes les parties totalement ordonnées de E (dites chaîne de E) admettent un majorant, alors E admet un élément maximal (lemme de Zorn).

Le théorème de Zermelo implique immédiatement l'axiome du choix : si E est muni d'un bon ordre, on obtient une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de E (énoncé (0')) en prenant pour chaque partie non vide de E son élément minimum^[9], on a déjà procédé ainsi dans le cas particulier où E est l'ensemble des entiers naturels (voir supra).

On peut montrer que le lemme de Zorn implique le théorème de Zermelo (voir l'article théorème de Zermelo)^[9]. Le lemme de Zorn implique donc l'axiome du choix d'après ce qui précède (pour une démonstration directe voir Lemme de Zorn).

Il est un peu plus délicat de démontrer que l'axiome du choix implique le lemme de Zorn (et donc le théorème de Zermelo). On peut utiliser dans les deux cas assez naturellement la théorie des ordinaux^[9], mais il est possible de démontrer le lemme de Zorn en travaillant directement sur la structure d'ordre de l'inclusion sur un ensemble de parties^[10].

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), et cet axiome n'est ni prouvable ni réfutable à partir des axiomes de ZF^[11]:

• en 1938, Kurt Gödel démontre que ZFC (la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix AC) est une théorie cohérente si ZF l'est^[12] ;
• en 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est.

Ce qui démontre l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.

L'axiome du choix est donc optionnel dans la théorie des ensembles. De vives controverses ont eu lieu à partir des années 1900 quant à l'opportunité de ou la légitimité à l'employer^[13]. Une partie des mathématiciens, notamment les constructivistes, reprochaient à l'axiome d'être "existentiel"^[14] : il affirme l'existence d'objets mathématiques sans fournir de moyen d'en construire ou d'en exhiber d'exemples concrets. D'autres mathématiciens acceptaient les formes faibles de l'axiome (AC dénombrable, AC du choix dépendant), mais refusaient sa forme générale.

Les arguments échangés depuis cette époque ont permis de montrer que, dans de nombreux cas, des démonstrations qui semblent ne pas utiliser cet axiome en font usage de façon cachée^[15]. Et, inversement, des théorèmes initialement démontrés en utilisant cet axiome peuvent être démontrés sans y faire appel^[16].

Les nombreuses études portant sur cet axiome et ses différentes formulations équivalentes ainsi que sur les résultats qu'il permet d'obtenir ont conduit progressivement à ce que la plupart des mathématiciens acceptent cet axiome, tout en recommandant de ne l'employer que lorsque cela est strictement nécessaire, et de préciser quel emploi en a été fait^[17],[18].

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : « Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine^[19]. »

Explication :

• Les deux chaussettes d'une même paire sont indistinguables. Même si chaque matin on arrive à choisir celle qu'on va mettre en premier, il n'y a pas de procédé général qui permette de décider à l'avance cette infinité de choix ;
• Pour les chaussures, on distingue la chaussure gauche de la chaussure droite. Ainsi, il existe une fonction de choix naturelle : par exemple, toujours choisir la chaussure gauche^[20].

• La première utilisation explicite de cet axiome est due à Peano, en 1890, pour démontrer l'existence de certaines solutions d'équations différentielles^[21],[22].
• Le théorème de la base incomplète en dimension quelconque (et même simplement l'existence d'une base pour tout espace vectoriel^[23]) n'est vrai qu'en supposant l'axiome du choix.
• Le théorème de Krull (tout idéal propre d'un anneau commutatif est contenu dans un idéal maximal) est équivalent à l'axiome du choix^[24].
• Le paradoxe de Banach-Tarski est (entre autres) une conséquence de l'axiome du choix.
• L'axiome du choix permet d'affirmer l'existence de parties de R non mesurables au sens de Lebesgue.
• L'ensemble *R des hyperréels doit son existence à l'axiome de choix.
• En théorie des graphes, les nombres chromatiques de la ligne et du plan dépendent de l'axiome du choix.
• Toute surjection admet un inverse à droite.
• Le théorème de comparabilité cardinale, qui énonce que le préordre de l'injection est total, est équivalent à l'axiome du choix.
• Pour tout ensemble infini ${\displaystyle E}$ et tout entier naturel ${\displaystyle n}$, l'ensemble ${\displaystyle E^{n}}$ est équipotent à ${\displaystyle E}$. Cet énoncé est équivalent à l'axiome du choix.
• L'existence d'une structure de groupe sur tout ensemble non-vide est équivalente à l'axiome du choix.

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir^[16] à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites. Elles sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

David Hilbert a introduit l'opérateur ε, qui à toute propriété P associe un objet εx.P(x) tel que, si P est vérifiée par au moins un élément, alors P est vérifiée par εx.P(x). Cette construction permet de définir les quantificateurs et elle est utilisée par Nicolas Bourbaki pour développer sa théorie des ensembles, avec une variante notationnelle utilisant la lettre τ (tau)^[26].

Il est alors assez simple de montrer que l'axiome du choix devient un théorème, c'est-à-dire une conséquence des autres axiomes, et des règles logiques gouvernant l'emploi du tau^[27]. L'opérateur tau fournit en effet une « fonction » de choix universelle, une construction (qui n'est pas une fonction au sens ensembliste) associant à tout ensemble non vide un élément de celui-ci. Tout énoncé de la théorie des ensembles de Bourbaki se traduit dans une théorie des ensembles de type ZF à laquelle on a ajouté un nouveau symbole de relation, et un axiome utilisant celui-ci qui exprime que cette relation est une relation de bon ordre sur tout l'univers : le principe du choix. Le tau peut alors s'interpréter par « le plus petit x vérifiant une propriété P s’il existe ». Si cette relation n’est vérifiée par aucun objet, alors ce tau est un objet « dont on ne peut rien dire^[27] ».

On associe de cette façon à tout énoncé clos démontrable dans la théorie de Bourbaki un énoncé traduit utilisant ce nouveau symbole qui est démontrable dans la théorie des ensembles ZF dont les schémas d'axiomes (on peut se restreindre au schéma d'axiomes de remplacement) ont été étendus aux énoncés contenant le nouveau symbole, et avec le principe du choix. En ajoutant l'axiome de fondation, la nouvelle théorie est conservative au-dessus de la théorie ZFC (avec axiome de fondation)^[28], c'est-à-dire qu'elle ne démontre pas de nouvel énoncé du langage initial.