Base canonique

Dans l'anneau des polynômes sur un corps K, vu comme espace vectoriel sur K, la base canonique est la famille des monômes ${\displaystyle (X^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Cette base est infinie. Comme pour toute base d'un espace vectoriel, tout vecteur (donc ici tout polynôme) s'écrit comme une combinaison linéaire faisant intervenir un nombre fini d'éléments de la base.

Dans l'espace des matrices à n lignes et p colonnes, la base canonique est l'ensemble des unités matricielles^[1] : ce sont les matrices ${\displaystyle E_{i,j}}$ qui présentent un 1 à l'intersection de la i^e ligne avec la j^e colonne, et des 0 partout ailleurs.

Pour toute matrice ${\displaystyle M=(a_{i,j})}$, ses coordonnées dans la base canonique sont les coefficients.

${\displaystyle M=\sum _{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq p}a_{i,j}E_{i,j}}$

La base canonique pour les représentations irréductibles d'un groupe quantique de type ADE et pour la partie positive de cette algèbre a été introduite par George Lusztig en 1990^[2] par deux méthodes, l'une algébrique (grâce à une action du groupe de tresses et la base de Poincaré-Birkhoff-Witt), l'autre topologique (grâce à la cohomologie d'intersection). En spécialisant le paramètre ${\displaystyle q}$ à ${\displaystyle q=1}$, on obtient une base canonique pour les représentations irréductibles de l'algèbre de Lie simple associée, base qui n'était pas connue auparavant. Cette trace (mais pas la base elle-même) dans le cas des représentations irréductibles a été abordée indépendamment par Masaki Kashiwara la même année^[3] et elle est parfois appelée base cristalline. La définition de la base canonique a peu après été étendue aux algèbres de Kac-Moody par Kashiwara^[4] (par une méthode algébrique) et par Lusztig^[5] (par une méthode topologique).

Il y a un concept général sous-jacent pour toutes ces bases.

Considérons l'anneau des polynômes de Laurent à coefficients entiers ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}$ et ses deux sous-anneaux ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]}$, ainsi que l'automorphisme ${\displaystyle {\overline {?}}}$ défini par ${\displaystyle {\overline {v}}:=v^{-1}}$.

Une structure précanonique sur un ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$-module libre ${\displaystyle F}$ est la donnée de :

• une base standard ${\displaystyle (t_{i})_{i\in I}}$ de ${\displaystyle F}$ ;
• un ordre partiel ${\displaystyle I}$ dont tous les intervalles sont finis, c'est-à-dire que ${\displaystyle \left]-\infty ,i\right]:=\{j\in I\mid j\leq i\}}$ est fini pour tout ${\displaystyle i\in I}$ ;
• une opération de dualisation, c'est-à-dire une bijection ${\displaystyle F\to F}$ d'ordre deux qui est semi-linéaire pour l'automorphisme ${\displaystyle {\overline {?}}}$ – on la notera ${\displaystyle {\overline {?}}}$ aussi.

Étant donné une structure précanonique, on peut définir le sous-${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }}$-module ${\displaystyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}$ de ${\displaystyle F}$.

Une base canonique de la structure précanonique est alors une base ${\displaystyle (c_{i})_{i\in I}}$ du ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$-module ${\displaystyle F}$ telle que :

• ${\displaystyle {\overline {c_{i}}}=c_{i}}$ et
• ${\displaystyle c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ and }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}}$

pour tout ${\displaystyle i\in I}$.

On peut montrer qu'il existe au plus une base canonique pour chaque structure précanonique^[6]. Une condition suffisante pour l'existence est que les polynômes ${\displaystyle r_{ij}\in {\mathcal {Z}}}$ définis par ${\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$ satisfont à ${\displaystyle r_{ii}=1}$ et ${\displaystyle r_{ij}\neq 0\implies i\leq j}$.

Une base canonique induit un isomorphisme de ${\displaystyle \textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}}$ sur ${\displaystyle F^{+}/vF^{+}}$.

Soit ${\displaystyle (W,S)}$ un groupe de Coxeter. L'algèbre d'Iwahori-Hecke ${\displaystyle H}$ associée possède par définition une base standard ${\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}$ et le groupe est partiellement ordonné par l'ordre de Bruhat, qui est à intervalles finis, et elle admet une opération de dualisation définie par ${\displaystyle {\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}}$. Cela donne une structure précanonique sur ${\displaystyle H}$ pour laquelle la condition suffisante ci-dessus est satisfaite. La base canonique correspondante de ${\displaystyle H}$ est la base de Kazhdan-Lusztig

${\displaystyle C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}}$,

où les ${\displaystyle P_{y,w}}$ sont les polynômes de Kazhdan-Lusztig.

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