Unité matricielle

L'ensemble des unités matricielles de taille m × n est une base de l'espace des matrices m × n^[2].

Le produit de deux unités matricielles de même forme carrée ${\displaystyle n\times n}$ satisfait à la relation $${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$ où ${\displaystyle \delta _{jk}}$ est le delta de Kronecker^[2].

Le groupe des matrices scalaires n × n sur un anneau R est le centralisateur du sous-ensemble des unités matricielles n × n dans l'ensemble des matrices n × n sur R^[2].

La norme matricielle (induite par les mêmes deux normes vectorielles) d'une unité matricielle est égale à 1.

Lorsque l'on multiplie par une matrice par une unité matricielle, tous les coefficients du produits sont nuls, sauf ceux d'une ligne ou d'une colonne précise, selon qu'on multiple à gauche ou à droite. Plus précisément, la i-ème ligne (resp. la j-ème colonne) de ${\displaystyle E_{ij}A}$ (resp. de ${\displaystyle AE_{ij}}$) est égale à celle de ${\displaystyle A}$, les autres sont nulles. Par exemple, pour toute matrice ${\displaystyle A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq 3}}$, on a^[4] :

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right],\quad AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$

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