Biholomorphisme

Formellement, une fonction biholomorphe est une fonction ${\displaystyle \phi }$ définie sur un ouvert ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$) à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, holomorphe et bijectif, tel que son image soit un ensemble ouvert ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ et que sa réciproque ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ soit également holomorphe. Plus généralement, ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$ peuvent être des variétés complexes. Dans le cas des fonctions d'une seule variable complexe, une condition suffisante pour qu'une application holomorphe soit biholomorphe est qu'elle soit injective, auquel cas sa réciproque est également holomorphe^[1].

S'il existe un biholomorphisme ${\displaystyle \phi :U\to V}$, on dit que ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$ sont biholomorphiquement équivalents ou bien qu'ils sont biholomorphes.

Pour ${\displaystyle n=1}$, tout ouvert non vide simplement connexe de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ autre que le plan complexe entier est biholomorphe au disque unité (c'est le théorème de Riemann). La situation est très différente en dimensions supérieures. Par exemple, les boules unités ouvertes et les polydisques unités ouverts ne sont pas biholomorphiquement équivalents pour ${\displaystyle n>1.}$ En fait, il n'existe même pas de fonction holomorphe propre de l'un à l'autre.

Dans le cas des applications ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ définie sur un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, certains auteurs^[2] définissent une application conforme comme application injective dont la dérivée ne s'annule pas (i.e. ${\displaystyle \forall z\in U,f'(z)\neq 0}$). Selon cette définition, une application ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ est conforme si et seulement si ${\displaystyle f:U\to f(U)}$ est biholomorphe. Par définition, on ne pose pas d'hypothèse sur les dérivées des biholomorphismes, donc cette équivalence affirme qu'un homéomorphisme dérivable au sens complexe possède nécessairement une dérivée non nulle partout. D'autres auteurs^[3] définissent une application conforme comme une application dont la dérivée ne s'annule pas, mais sans exiger l'injectivité. Selon cette définition plus faible, une application conforme n'a pas besoin d'être biholomorphe, même si elle l'est localement, par exemple par le théorème d'inversion locale. Par exemple, si ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ est définie par ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$, alors ${\displaystyle f}$ est conforme sur ${\displaystyle U}$ puisque sa dérivée ${\displaystyle f'(z)=2z\neq 0}$, mais n'est pas biholomorphe parce que pas injective (${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ^{*},f(z)=f(-z)}$)