Couronne (géométrie)

L'aire d'une couronne circulaire est la différence entre les aires du plus grand disque de rayon R et du plus petit du rayon r :

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Cette aire est le produit de la longueur du cercle situé au centre de la couronne, par l'épaisseur de la couronne ${\displaystyle d=R-r}$ :

${\displaystyle A=2\pi {\frac {R+r}{2}}\times d}$.

Si ${\displaystyle L}$ est la demi-longueur d'une corde du grand cercle tangente au petit cercle, l'aire de la couronne est égale à l'aire d'un disque de rayon ${\displaystyle L}$ :

${\displaystyle A=\pi L^{2}}$.

En effet ${\displaystyle L^{2}=R^{2}-r^{2}}$ d'après le théorème de Pythagore.

• 
  L'aire de la couronne est égale à l'aire d'un disque de rayon ${\displaystyle L={\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}$.
• 
  Les cercles dessinés ci-dessus ont pour rayons ${\displaystyle 3,4,5,6,3{\sqrt {5}}}$. Comme ${\displaystyle 5^{2}-4^{2}=(3{\sqrt {5}})^{2}-6^{2}=3^{2}}$, toutes les surfaces colorées ont même aire.

D'après la propriété ci-dessus toutes les couronnes dont la corde tangente a une longueur donnée ont la même aire. Visuellement, le résultat est paradoxal, on imaginerait que l'aire du disque central est bien supérieure à celles des couronnes^[2].

Le volume d'une couronne sphérique est la différence entre les volumes de la plus grande boule de rayon R et de la plus petite de rayon r :

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}-{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=V={\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})}$.

Ce volume est le produit de la moyenne de Héron des aires des sphères interne et externe, par l'épaisseur de la couronne ${\displaystyle d=R-r}$ :

${\displaystyle V=4\pi {\frac {R^{2}+Rr+r^{2}}{3}}\times d=H(4\pi R^{2},4\pi r^{2})\times d}$.

Une approximation du volume d'une couronne sphérique mince est la surface de la sphère interne multipliée par l'épaisseur ${\displaystyle d}$ de la couronne^[3] :

${\displaystyle V\approx 4\pi r^{2}d,}$

quand t est très petit par rapport à r (${\displaystyle t\ll r}$).

Une fonction holomorphe définie dans une couronne est développable en série de Laurent.