Produit semi-direct

Un groupe ${\displaystyle G}$ est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal ${\displaystyle H}$ par un sous-groupe ${\displaystyle K}$^[1] si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

• ${\displaystyle H\cap K=\{1\}{\text{ et }}G=HK}$ (en d'autres termes, ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle K}$ sont compléments l'un de l'autre dans ${\displaystyle G}$) ;
• ${\displaystyle \forall g\in G,\exists$ !(h,k)\in H\times K,g=hk} (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de ${\displaystyle H}$ et d'un élément de ${\displaystyle K}$) ;
• la restriction à ${\displaystyle K}$ de la surjection canonique ${\displaystyle G\to G/H}$ est un isomorphisme entre ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle G/H}$ ;
• la surjection canonique ${\displaystyle G\to G/H\to 1}$ se scinde par un morphisme ${\displaystyle s}$ tel que ${\displaystyle s(G/H)=K}$.

La décomposition des éléments de ${\displaystyle G}$ comme produit d'un élément de ${\displaystyle H}$ et d'un élément de ${\displaystyle K}$ est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

${\displaystyle g_{1}=h_{1}k_{1}{\text{ et }}g_{2}=h_{2}k_{2}}$

deux éléments de ${\displaystyle G}$ ainsi décomposés. On a :

${\displaystyle g_{1}g_{2}=h_{1}k_{1}h_{2}k_{2}=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})}$

décomposé en un élément ${\displaystyle h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}}$ de ${\displaystyle H}$ (on utilise ici le fait que ${\displaystyle H}$ est normal), et un élément ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ de ${\displaystyle K}$.

Dans ce cas, le groupe ${\displaystyle K}$ agit par conjugaison sur ${\displaystyle H}$, et le groupe ${\displaystyle G}$ est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de ${\displaystyle H}$ par ${\displaystyle K}$ muni de la loi :

${\displaystyle (h_{1},k_{1})(h_{2},k_{2})=(h_{1}(k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}),k_{1}k_{2})}$

Pour tout ${\displaystyle k\in K}$, l'application

${\displaystyle \quad f(k):H\to H:h\mapsto khk^{-1}}$

est un automorphisme de ${\displaystyle H}$. En outre, l'application

${\displaystyle f:K\to {\text{Aut}}(H):k\mapsto f(k)}$

est un morphisme de groupes.

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On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle K}$, et un morphisme ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle K}$ dans le groupe ${\displaystyle {\rm {Aut}}(H)}$ des automorphismes de ${\displaystyle H}$, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe ${\displaystyle G}$ de ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle K}$ suivant ${\displaystyle f}$ comme le produit cartésien de ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle K}$ muni de la loi de groupe :

${\displaystyle (h_{1},k_{1})(h_{2},k_{2})=(h_{1}f(k_{1})(h_{2}),k_{1}k_{2})~}$

où l'inverse d'un élément ${\displaystyle \left(h,k\right)}$ est ${\displaystyle \left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)}$.

On peut injecter ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle G}$ par l'injection canonique ${\displaystyle h\ \mapsto \ (h,e_{K})}$, et injecter ${\displaystyle K}$ dans ${\displaystyle G}$ par l'injection canonique ${\displaystyle k\ \mapsto \ (e_{H},k)}$. On vérifie alors que ${\displaystyle G}$ est le produit semi-direct interne de ${\displaystyle H}$ par ${\displaystyle K}$ au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme ${\displaystyle f(k)}$ est l'automorphisme de conjugaison par ${\displaystyle k}$. On note

${\displaystyle G=H\rtimes _{f}K}$ ou tout simplement ${\displaystyle G=H\times _{f}K}$.

Le cas où ${\displaystyle f}$ est le morphisme trivial de groupe (i.e. ${\displaystyle f(k_{1})(h_{2})=h_{2}}$) correspond au produit direct.

Soient ${\displaystyle H,H_{1},K,K_{1}}$ des groupes, ${\displaystyle f}$ un morphisme de ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle {\rm {Aut}}(K)}$, ${\displaystyle f_{1}}$ un morphisme de ${\displaystyle H_{1}}$ dans ${\displaystyle {\rm {Aut}}(K_{1})}$. Alors ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f_{1}}$ peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de ${\displaystyle H}$ sur ${\displaystyle K}$ et de ${\displaystyle H_{1}}$ sur ${\displaystyle K_{1}}$ par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

${\displaystyle H\rtimes _{f}K}$ et ${\displaystyle H_{1}\rtimes _{f_{1}}K_{1}}$

sont des groupes isomorphes^[2].

• Le groupe diédral D_2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique C_n d'ordre n par un groupe cyclique C₂ d'ordre 2, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion^[3]. Explicitement, le morphisme ${\displaystyle f}$ de C₂ dans Aut(C_n) est défini par :si ${\displaystyle C_{n}=\langle x\rangle }$ et ${\displaystyle C_{2}=\langle y\rangle }$, alors ${\displaystyle \forall k\in \{0;1;2;\dots ;n-1\},f(1)(x^{k})=x^{k},f(y)(x^{k})=x^{-k}.}$Géométriquement, le groupe C_n est engendré par une rotation, le groupe C₂ par une réflexion.
• Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme ${\displaystyle f(v)=u+\varphi (v)}$ où ${\displaystyle \varphi }$ est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple ${\displaystyle (u,\varphi )}$. La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :

${\displaystyle (u,\varphi )(v,\psi ):=(u+\varphi (v),\varphi \circ \psi )}$.

• En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
• Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition^[4].
• Le groupe linéaire sur un anneau commutatif R est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe R^× des éléments inversibles de R.
• L'holomorphe d'un groupe G peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.