Cap-produit

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.

Soit X un espace topologique et A un anneau. Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières

\frown \;:C_{p}(X;A)\times C^{q}(X;A)\rightarrow C_{p-q}(X;A)

en posant

\sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]},

avec ${\displaystyle \sigma$ et $\psi \in C^{q}(X;A)$ et où $\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}$ est la restriction de l'application simpliciale $\sigma$ à la face engendrée par les vecteurs $v_{0},\ldots ,v_{q}$ .

Propriétés

On a la formule $\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )$ .

Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.

Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :

\frown \;:H_{p}(X;A)\times H^{q}(X;A)\rightarrow H_{p-q}(X;A).

Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relation $\psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )$ où ${\displaystyle \sigma$ , $\psi \in C^{q}(X;A){\text{ et }}\varphi \in C^{p}(X;A).$

Dualité de Poincaré

Article détaillé : Dualité de Poincaré.

Théorème — Si M est une variété fermée orientable de dimension n de classe fondamentale (en) $[M]\in H_{n}(M;A)$ , alors l'application $D:H^{k}(M;A)\rightarrow H_{n-k}(M;A)$ définie par $D(\alpha )=[M]\frown \alpha$ est un isomorphisme pour tout k.

v · m Homologie et cohomologie
Conjectures	Conjecture de Hodge Conjecture de Tate (en) Conjectures de Weil Conjectures standard (en)
Axiomatisations	Axiomes d'Eilenberg-Steenrod Cohomologie de Weil Cohomologie de Bloch-Ogus Cohomologie de Brown-Peterson (en)
Théories homologiques et cohomologiques	Homologie singulière Homologie cellulaire Homologie simpliciale Homologie de Borel-Moore (en) Homologie de Khovanov (en) Homologie de Morse Homologie de Floer Homologie de Hochschild Homologie des groupes Homologie de Steenrod Homologie d'intersection (en) Cohomologie galoisienne Cohomologie d'Alexander-Spanier Cohomologie elliptique (en) Cohomologie de De Rham Cohomologie de Dolbeault Cohomologie de Čech Cohomologie de Hodge Cohomologie étale Cohomologie ℓ-adique Cohomologie cristalline Cohomologie à support compact (en) Cohomologie motivique K-théorie topologique
Outils	Cap-produit Classe fondamentale (en) Complexe différentiel Cup-produit Cycle algébrique Suite exacte Suite spectrale Théorème des coefficients universels Théorème de Künneth
Dualités	Dualité d'Alexander Dualité de Hodge Dualité d'Isbell (en) Dualité de Lefschetz (en) Dualité de Poincaré Dualité de Pontriaguine Dualité de Serre Dualité de Spanier-Whitehead (en) Dualité de Verdier (en)

Propriétés

Dualité de Poincaré

Référence

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