Cohomologie cristalline

Soit A un anneau et I un idéal de A. Une structure de puissances divisées (ou PD-structure) sur I est une suite d'applications

${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$

pour tout n positif ou nul, telles que^[3] :

• ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$ et ${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$ pour tout ${\displaystyle x\in I}$ ;
• ${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$ si n ≥ 1 et ${\displaystyle x\in I}$ ;
• ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i+j=n}\gamma _{i}(x)\gamma _{j}(y)}$ pour ${\displaystyle x,y\in I}$ ;
• ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$ pour tout ${\displaystyle x\in I}$ et ${\displaystyle \lambda \in A}$ ;
• ${\displaystyle \gamma _{n}(x)\gamma _{m}(x)={m+n \choose n}\gamma _{m+n}(x)}$ pour tout ${\displaystyle x\in I}$ et ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ;
• ${\displaystyle \gamma _{m}(\gamma _{n}(x))={\frac {(mn)!}{m!(n!)^{m}}}\gamma _{mn}(x)}$^[4] pour tout ${\displaystyle x\in I}$ et tous ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$.

En particulier, si W(k) désigne l'anneau des vecteurs de Witt, (p) est un idéal de W(k) et une PD-structure est donnée par ${\displaystyle \gamma _{n}=p^{n}/n!}$.

Soit k un corps parfait de caractéristique p > 0, et X un k-schéma. On note W = W(k) l'anneau des vecteurs de Witt sur k et

${\displaystyle W_{n}=W/p^{n}}$

Le site cristallin ${\displaystyle \mathrm {Cris} (X/W_{n})}$ est un site défini ainsi :

• Les objets sont les diagrammes commutatifs

${\displaystyle {\begin{matrix}U&{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}&V\\\downarrow &&\downarrow \\\mathrm {Spec} \,k&\rightarrow &\mathrm {Spec} \,W_{n}\end{matrix}}}$

avec ${\displaystyle U\subset X}$ un ouvert de Zariski, i une immersion fermée de ${\displaystyle W_{n}}$-schémas telle que l'idéal ${\displaystyle \mathrm {ker} ({\mathcal {O}}_{V}\to {\mathcal {O}}_{U})}$ soit muni d'une PD-structure compatible avec la PD-structure canonique sur ${\displaystyle pW_{n}\subset W_{n}}$^[5].

• Les morphismes ${\displaystyle (U,V,\delta )\to (U',V',\delta ')}$ sont les diagrammes commutatifs formés d'une immersion ouverte ${\displaystyle U\hookrightarrow U'}$ et d'un morphisme ${\displaystyle V\to V'}$ compatible avec les puissances divisées.
• Les familles couvrantes sont les familles de morphismes ${\displaystyle (U_{i},V_{i},\delta _{i})\to (U,V,\delta )}$ tels que ${\displaystyle V_{i}\to V}$ est une immersion ouverte et ${\displaystyle V=\bigcup _{i}V_{i}}$

La catégorie des faisceaux sur un site cristallin est un topos appelé topos cristallin et noté ${\displaystyle (X/W_{n})_{\mathrm {cris} }}$. En particulier, cette structure garantit la fonctorialité : si ${\displaystyle f:X\to Y}$ est un morphisme de k-schémas, on peut lui associer un morphisme

${\displaystyle f^{-1}:(Y/W_{n})_{\mathrm {cris} }\to (X/W_{n})_{\mathrm {cris} }}$.

Soit F un faisceau sur le site cristallin, et (U, V) un objet du site. En associant à un ouvert W de V les sections de F sur ${\displaystyle (U\times _{V}W,W)}$, on définit un faisceau sur V pour la topologie de Zariski. Pour un morphisme

${\displaystyle g:(U,V)\to (U',V')}$

dans le site on obtient un morphisme

${\displaystyle g_{F}^{*}:g^{-1}F_{(U',V')}\to F_{(U,V)}}$

qui vérifie notamment une condition de transitivité et tel que ${\displaystyle g_{F}^{*}}$ est un isomorphisme si V → V’ est une immersion ouverte et ${\displaystyle U=U'\times _{V'}V}$. Réciproquement, si on se donne pour tout objet (U, V) du site un faisceau ${\displaystyle F_{(U,V)}}$ pour la topologie de Zariski sur V, ainsi que pour tout morphisme g comme ci-dessus un morphisme de transition ${\displaystyle g_{F}^{*}}$ qui vérifie les propriétés évoquées, on définit un faisceau sur le site cristallin. Le faisceau structural ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X/W_{n}}}$ associe à tout objet ${\displaystyle (U,V,\delta )}$ du site cristallin le faisceau ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V}}$.

La cohomologie cristalline est la cohomologie du faisceau structural :

${\displaystyle H^{i}(X/W_{n})=H^{i}\left((X/W_{n})_{\mathrm {cris} },{\mathcal {O}}_{X/W_{n}}\right)}$

${\displaystyle H^{i}(X/W)=\lim _{\stackrel {\longleftarrow }{n}}H^{i}(X/W_{n})}$

• (en) Pierre Berthelot et Arthur Ogus, Notes on Crystalline Cohomology, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies », 1978 (zbMATH 0383.14010, lire en ligne)
• Pierre Berthelot, Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p > 0, vol. 407, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1974, 604 p. (ISBN 978-3-540-06852-5, DOI 10.1007/BFb0068636, MR 0384804)
• (en) Alexander Grothendieck, « Crystals and the de Rham cohomology of schemes », dans Jean Giraud, Alexander Grothendieck, Steven Kleiman et Michèle Raynaud, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, vol. 3, North-Holland, coll. « Advanced studies in pure mathematics », 1968 (MR 0269663, lire en ligne), p. 306–358
• Alexander Grothendieck, SGA 5 (1972)
• Alexander Grothendieck, Pierre Deligne et Nick Katz, SGA 7 (1972)
• (en) Luc Illusie, « Report on crystalline cohomology », dans Algebraic geometry, vol. 29, Amer. Math. Soc., coll. « Proc. Sympos. Pure Math. », 1975 (MR 0393034), p. 459–478
• Luc Illusie, « Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot) », dans Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456, vol. 514, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Math. », 1976 (MR 0444668, lire en ligne), p. 53–60
• (en) Luc Illusie, « Crystalline cohomology », dans Motives (Seattle, WA, 1991), vol. 55, Amer. Math. Soc., coll. « Proc. Sympos. Pure Math. », 1994 (MR 1265522), p. 43–70

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