Carré magique de carrés

Un carré magique est un tableau carré d'entiers dont les sommes des éléments d'une ligne, d'une colonne et d'une diagonale sont toutes égales^[3]. L'ordre du carré est le nombre d’éléments d'une ligne ou d'une colonne. Un carré semi-magique est un carré magique dont les sommes des éléments des lignes et des colonnes sont égales, mais pas forcément égales à celles des deux diagonales.

Il consiste à déterminer s'il est possible de construire un carré magique d'ordre trois dont tous les éléments sont des carrés parfaits distincts^[3].

On demande que les carrés soient distincts car il existe des solutions simples sans cette clause, comme^[6] :

car ${\displaystyle 5^{2}+5^{2}=7^{2}+1^{2}}$.

En utilisant la forme générale de Lucas d'un carré magique d'ordre 3 :

${\displaystyle a-b}$	${\displaystyle a+b+c}$	${\displaystyle a-c}$
${\displaystyle a+b-c}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a-b+c}$
${\displaystyle a+c}$	${\displaystyle a-b-c}$	${\displaystyle a+b}$

il s'agit donc de déterminer trois entiers ${\displaystyle a,b,c}$ , vérifiant ${\displaystyle 0<b<c<a-b}$, ${\displaystyle c\not =2b}$, tels que ${\displaystyle a,a\pm b,a\pm c,a\pm (b+c),a\pm (b-c)}$ soient 9 carrés parfaits distincts.

Les recherches exhaustives de solutions se sont avérées infructueuses et suggèrent que, si une solution existe, elle serait composée de nombres supérieurs à ${\displaystyle 10^{14}}$ ^[7].

Duncan Buel a même montré qu'il n'existe pas de carré magique incomplet du type ci-dessous formé de carrés distincts, carré qu'il appelle un sablier^[2] :

${\displaystyle a-b}$	${\displaystyle a+b+c}$	${\displaystyle a-c}$
	${\displaystyle a}$
${\displaystyle a+c}$	${\displaystyle a-b-c}$	${\displaystyle a+b}$

avec ${\displaystyle a<25.10^{24}}$ ^[8].

Anthony Várilly-Alvarado, professeur de mathématiques à l'université Rice, a exprimé ses doutes quant à l'existence d'un tel carré magique^[9].

Il a été démontré que ce problème est équivalent aux problèmes suivants^[1]:

• Déterminer trois carrés parfaits distincts ${\displaystyle x^{2},y^{2},z^{2}}$ tel que ${\displaystyle y^{2}+z^{2}-x^{2},z^{2}+x^{2}-y^{2},x^{2}+y^{2}-z^{2},2x^{2}-z^{2},2x^{2}-y^{2},3x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ soient des carrés parfaits distincts. Ceci vient de la forme générale d'un tel carré :

${\displaystyle y^{2}}$	${\displaystyle 3x^{2}-y^{2}-z^{2}}$	${\displaystyle z^{2}}$
${\displaystyle x^{2}-y^{2}+z^{2}}$	${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}}$
${\displaystyle 2x^{2}-z^{2}}$	${\displaystyle -x^{2}+y^{2}+z^{2}}$	${\displaystyle 2x^{2}-y^{2}}$

• Déterminer trois triplets de carrés parfaits en progression arithmétique, ayant même raison tous les trois, et tels que leurs termes centraux soient eux-mêmes en progression arithmétique.
• Déterminer trois triangles rectangles rationnels de même aire tels que les carrés des hypoténuses soient en progression arithmétique.
• Déterminer une courbe elliptique ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$, où ${\displaystyle n}$ est un nombre congruent, ayant trois points rationnels ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$, de sorte que chaque point soit « double » d'un autre point rationnel sur la courbe (« double » au sens de la structure de groupe pour les points sur une courbe elliptique), et ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$ sont en progression arithmétique.

Plusieurs tentatives de construction d'un tel carré magique de carrés ont été menées par des mathématiciens amateurs. Elles présentent la particularité que toutes les clauses sont respectées sauf une, ou deux.

Suite à l'offre de prix proposée par Gardner en 1996 à quiconque trouverait un tel carré magique de carrés, Lee Sallows publia sa tentative dans The Mathematical Intelligencer. Son carré présente le seul défaut que l'une des diagonales n'a pas la somme commune (il n'est que semi-magique). On peut par contre remarquer que la somme commune est elle-même un carré^[10],[9].

En 1999, Andrew Bremner a publié sa tentative de résolution du problème, ainsi que des recherches complémentaires sur ces carrés magiques de carrés^[6]. La tentative de Bremner est incomplète en ce que le carré est magique mais possède un élément non carré^[9].

Le carré de Parker est une tentative de Matt Parker pour résoudre le problème en 2016^[11]. De nouveau, l'une des diagonales n'a pas la somme commune, et il présente de plus le défaut de présenter deux couples d'éléments identiques^[7].