Problèmes non résolus en mathématiques
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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?En toute généralité, la résolution d'un problème non résolu en mathématiques est relative au cadre axiomatique dans lequel on se place. Pour exemples, on peut prouver plus en logique classique qu'en logique intuitionniste et aussi plus dans la théorie des ensembles usuelle que dans la théorie arithmétique.
Par exemple le théorème de Goodstein s'exprime dans le langage de l'arithmétique et est démontré être indécidable dans la théorie arithmétique, alors qu'il est un théorème de la théorie des ensembles.
Le célèbre dernier théorème de Fermat, qui lui aussi s'exprime dans le langage de l'arithmétique, est résolu en théorie des ensembles, mais on ne sait pas s'il est résoluble ou non dans la théorie arithmétique.
Ce qui suit est donc une liste de problèmes non résolus en mathématiques standard, soit en logique classique avec la théorie des ensembles usuelle.
Sur les sept problèmes du prix du millénaire fixés par l'Institut de mathématiques Clay, les six qui restent ouverts sont[1] :
- le problème P = NP ;
- la conjecture de Hodge ;
- l'hypothèse de Riemann ;
- la question de l'existence de la théorie de Yang-Mills avec un gap de masse ;
- la question de l'existence et des propriétés de solutions des équations de Navier-Stokes ;
- la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
Seule la conjecture de Poincaré a été démontrée.
