Cercle de Van Lamoen

Le cercle de Van Lamoen porte le nom du mathématicien Floor van Lamoen (nl) qui l'a posé comme problème en 2000^[3],[4]. Une preuve a été fournie en 2001^[4], et les éditeurs de l'American Mathematical Monthly en 2002^[1],[5].

Le centre du cercle de Van Lamoen est le point ${\displaystyle X(1153)}$ dans la liste complète des centres du triangle de Clark Kimberling^[1].

En 2003, il a été mis en évidence que la réciproque du théorème est presque vraie, dans le sens où, pour un point ${\displaystyle P}$ quelconque à l'intérieur du triangle ${\displaystyle \mathrm {T} }$, et ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, et ${\displaystyle CC'}$ les céviennes passant par ${\displaystyle P}$, c'est-à-dire les segments de droite qui relient chaque sommet à ${\displaystyle P}$ et sont étendus jusqu'à ce que chacun rencontre le côté opposé. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles ${\displaystyle APB'}$, ${\displaystyle APC'}$, ${\displaystyle BPC'}$, ${\displaystyle BPA'}$, ${\displaystyle CPA'}$, et ${\displaystyle CPB'}$ sont cocyliques si et seulement si ${\displaystyle P}$ est le centre de gravité de ${\displaystyle \mathrm {T} }$ (ce qui donne le cercle de Van Lamoen) ou son orthocentre (l'intersection de ses trois hauteurs, cas du cercle d'Euler)^[6]. Une preuve plus simple de ce résultat a été donnée en 2005^[7].

Dans le cas d'un point quelconque du plan, Kimberling avait remarqué que les six centres des cercles circonscrits étaient tous sur une même conique^[8].

Une extension du théorème de van Lamoen est donné par Myakishev :

On considère deux triangles ${\displaystyle ABC}$ et ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$, deux triangles homologiques de centre d'homologie ${\displaystyle M}$ et de même centre de gravité ${\displaystyle G}$. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs ${\displaystyle AMB_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}MC}$, ${\displaystyle CMA_{1}}$, ${\displaystyle A_{1}MB}$, ${\displaystyle BMC_{1}}$, et ${\displaystyle C_{1}MA}$ se situent sur un cercle commun^[6],[9].

Le théorème de van Lamoen correspond au cas particulier où ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ est le triangle médian de ${\displaystyle ABC}$.

• Cercle de Parry
• Cercle de Lester