Champ aléatoire de Markov

Soit ${\displaystyle G=(V,E)}$ un graphe non orienté et ${\displaystyle X=\{X_{i}\}_{i\in V}}$ un ensemble de variables aléatoires indexé par les sommets de ${\displaystyle G}$. On dit que ${\displaystyle X}$ est un champ aléatoire de Markov relativement à ${\displaystyle G}$ si une des trois propriétés suivantes est vérifiée

• ${\displaystyle X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{v}\mid X_{V\setminus \{u,v\}},\forall (u,v)\notin E}$ , c'est-à-dire que deux variables aléatoires dont les sommets associés ne sont pas voisins dans le graphe ${\displaystyle G}$ sont indépendantes conditionnellement à toutes les autres variables.
• ${\displaystyle X_{u}\perp \!\!\!\perp X_{V\setminus cl(u)}\mid X_{V\setminus \partial u}}$, avec ${\displaystyle \partial u}$ l'ensemble des voisins de ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle cl(u)=\{u\}\cup \partial u}$. C'est-à-dire qu'une variable est indépendante de toutes les autres conditionnellement à son voisinage.
• ${\displaystyle X_{A}\perp \!\!\!\perp X_{B}\mid X_{S}}$, lorsque ${\displaystyle S}$ sépare ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$: c'est-à-dire que tout chemin d'un sommet de ${\displaystyle A}$ vers un sommet de ${\displaystyle B}$ passe par un sommet de ${\displaystyle S}$.

Il existe des conditions sous lesquelles ces trois propriétés sont équivalentes mais ce n'est cependant pas toujours le cas. Par exemple, dans le cas où la loi de ${\displaystyle X}$ admet une densité continue et strictement positive par rapport à une mesure les trois propriétés ci-dessus sont équivalentes^[1]. Dans le cas où les variables aléatoires sont discrètes la stricte positivité de la loi suffit donc.