Auto-régression simultanée

Ce modèle prend la forme suivante :

${\displaystyle y=\rho W_{1}y+x\beta +\epsilon }$

${\displaystyle \epsilon =\lambda W_{2}\epsilon +u}$

où ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle \lambda }$ sont des coefficients d’auto-régression, ${\displaystyle W_{1}}$ et ${\displaystyle W_{2}}$ sont les matrices de poids spatiaux, x les variables explicatives, y la variable expliquée, ${\displaystyle \epsilon }$ et ${\displaystyle u}$ représentent les erreurs^[1].

Selon que les paramètres ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle \lambda }$ sont nuls ou non le modèle peut prendre les quatre formes suivantes^[1] :

• le modèle de régression linéaire

${\displaystyle y=x\beta +\epsilon }$

• le modèle de décalage spatial (« spatial lag model »), où la dépendance spatiale est portée par la variable réponse et apparait dans le modèle comme une variable explicative supplémentaire

${\displaystyle y=\rho Wy+x\beta +\epsilon }$

• le modèle d'erreur spatiale (« spatial error model »), où la dépendance spatiale est portée par la perturbation

${\displaystyle y=x\beta +\lambda W\epsilon +u}$

• et le modèle général, rarement utilisé^[1]

${\displaystyle y=\rho W_{1}y+x\beta +\lambda W_{2}\epsilon +u}$