Circuit quantique

Richard Feynman a utilisé une première version de la notation des circuits quantiques en 1986^[5].

En 2026, John Martinis (ancien chercheur chez Google et co-prix Nobel 2025 pour avoir contribué à révéler la physique quantique à échelle macroscopique) cherche à produire des circuits quantiques supraconducteurs et de nouvelles puces quantiques^[6] : en Californie, il cherche à repenser les qubits supraconducteurs avec une approche holistique afin de « fabriquer les dispositifs d’une toute nouvelle façon » ; il a pour cela fondé une start-up qu’il a cofondée (Qolab) qui coopère avec une société de semi-conducteurs (Applied Materials) pour tenter de produire de très grandes puces (300 mm de large) qui pourraient contenir 20 000 qubits supraconducteurs et fonctionner dans un réfrigérateur standard à basse température^[7].

La plupart des portes logiques élémentaires d'un ordinateur classique ne sont pas réversibles. Ainsi, par exemple, pour une porte ET, on ne peut pas toujours retrouver les deux bits d'entrée à partir du bit de sortie ; par exemple, si le bit de sortie est 0, on ne peut pas savoir si les bits d'entrée sont 01, 10 ou 00.

Cependant, les portes réversibles des ordinateurs classiques sont facilement construites pour des chaînes de bits de n'importe quelle longueur ; en outre, elles présentent un intérêt pratique, car les portes non-réversibles doivent toujours augmenter l'entropie physique. Une porte réversible est une fonction réversible sur des données de n bits qui renvoie des données de n bits, où une donnée de n bits est une string de bits x₁,x₂, ...,x_n de longueur n. L'ensemble des données de n bits est l'espace {0,1}ⁿ, qui consiste en 2ⁿ chaînes de 0 et de 1.

Plus précisément, une porte réversible de n-bits est une correspondance bijective f de l'ensemble {0,1}ⁿ de données de n-bits sur elle-même.

Un exemple d'une telle porte réversible f est un mappage qui applique une permutation fixe à ses entrées. Pour des raisons d'ingénierie pratique, on n'étudie généralement les portes que pour de petites valeurs de n, par exemple n=1, n=2 ou n=3. Ces portes peuvent être facilement décrites par des tableaux.

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Les portes logiques quantiques sont des transformations unitaires réversibles sur au moins un qubit. Plusieurs qubits pris ensemble sont appelés registres quantiques. Pour définir les portes quantiques, nous devons d'abord spécifier le remplacement quantique d'une donnée de n bits. La « version quantifiée » de l'espace classique à n bits {0,1}ⁿ est l'espace de Hilbert.

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}$

Il s'agit par définition de l'espace des fonctions à valeurs complexes sur {0,1}ⁿ et c'est naturellement un Espace préhilbertien. ${\displaystyle \ell ^{2}}$ signifie que la fonction est une fonction carré sommable. Cet espace peut également être considéré comme constitué de combinaisons linéaires, ou de superposition, de chaînes de bits classiques. Notez que H_QB(n) est un espace vectoriel sur les nombres complexes de dimension 2ⁿ. Les éléments de cet espace vectoriel sont les vecteurs d'état possibles de n-qubit] registres quantiques.

En utilisant la notation de Dirac ket, si x₁,x₂, ...,x_n est une chaîne de bits classique, alors

${\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }$

est un registre spécial de n-qubits correspondant à la fonction qui fait passer cette chaîne de bits classique à 1 et fait passer toutes les autres chaînes de bits à 0. Ces 2ⁿ registres spéciaux de n-qubits sont appelés états de base de calcul. Tous les registres de n-qubits sont des combinaisons linéaires complexes de ces états de base de calcul.

Les portes logiques quantiques, contrairement aux portes logiques classiques, sont toujours réversibles. Il faut un type spécial de fonction réversible, à savoir une cartographie unitaire, c'est-à-dire une transformation linéaire d'un espace de produit intérieur complexe qui préserve le produit intérieur hermitien. Une porte quantique (réversible) de n-qubit est un mapping unitaire U de l'espace H_QB(n) des registres de n-qubit sur lui-même.

Typiquement, nous ne sommes intéressés par les portes que pour de petites valeurs de n.

Une porte logique classique réversible de n-bits donne lieu à une porte quantique réversible de n-bits comme suit : à chaque porte logique réversible de n-bits f correspond une porte quantique W_f définie comme suit :

${\displaystyle W_{f}(|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle )=|f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\rangle .}$

Notez que W_f permute les états de la base de calcul.

La porte NOT commandée (en) W_CNOT définie sur un qubit quantifié à 2 qubits est particulièrement importante. D'autres exemples de portes logiques quantiques dérivées de portes classiques sont la porte de Toffoli et la porte de Fredkin.

Cependant, la structure de l'espace de Hilbert des qubits permet de nombreuses portes quantiques qui ne sont pas induites par les portes classiques. Par exemple, un déphasage relatif est une porte à 1 qubit donnée par la multiplication par l'opérateur de déphasage :

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}},}$

donc

${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle \quad P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle .}$