Circuit équivalent de KLM

Dans le cas où la couche piézoélectrique est « dans le vide », les deux ports mécaniques sont libres (pression nulle). On a donc ${\displaystyle Z_{G}=Z_{D}=0}$.

Il en ressort que ${\displaystyle Z_{TG}=Z_{TD}=Z_{0}tan\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}$

L'impédance vue du port électrique vaut alors :

${\displaystyle Z_{free}={\frac {1}{iC_{0}\omega }}+X_{1}+{\frac {Z_{0}}{2\phi ^{2}}}tan\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}$

Soit en remplaçant les termes par leur expression respective :

${\displaystyle Z_{free}={\frac {t}{i\varepsilon _{33}^{S}A\omega }}+i{\frac {h_{33}^{2}}{\omega ^{2}Z_{0}}}sin{(\Gamma t)}+{\frac {2h_{33}^{2}}{\omega ^{2}Z_{0}csc^{2}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}tan\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}$

On peut alors factoriser l'expression de la capacité et remplacer ${\displaystyle Z_{0}}$ par son expression :

${\displaystyle Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl (}1+{\frac {A\varepsilon _{33}^{S}h_{33}^{2}}{\omega A{\sqrt {C_{33}^{D}\rho }}}}sin{(\Gamma t)}+{\frac {2i\varepsilon _{33}^{S}h_{33}^{2}}{\omega {\sqrt {C_{33}^{D}\rho }}}}{\frac {sin^{3}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}{cos\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}{\Biggr )}}$

On pose le coefficient de couplage électromécanique du mode épaisseur ${\displaystyle k_{t}}$, qu'il ne faut pas confondre avec le ${\displaystyle k_{33}}$ :

${\displaystyle k_{t}^{2}={\frac {\varepsilon _{33}^{S}h_{33}^{2}}{c_{33}^{S}}}}$

Par remplacement : ${\displaystyle Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl (}1+k_{t}^{2}{\frac {\sqrt {C_{33}^{D}}}{\omega {\sqrt {\rho }}}}sin{(\Gamma t)}+k_{t}^{2}{\frac {2i{\sqrt {C_{33}^{D}}}}{\omega {\sqrt {\rho }}}}{\frac {sin^{3}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}{cos\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}{\Biggr )}}$

On identifie ${\displaystyle \Gamma }$ et on factorise ${\displaystyle k_{t}^{2}}$ :

Par remplacement : ${\displaystyle Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl (}1+k_{t}^{2}{\Bigl (}{\frac {sin{(\Gamma )}}{\Gamma }}+{\frac {2i}{\Gamma }}{\frac {sin^{3}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}{cos\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}{\Bigr )}{\Biggr )}}$

D'où finalement :

${\displaystyle Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl (}1-k_{t}^{2}{\frac {tan{\frac {\Gamma t}{2}}}{\frac {\Gamma t}{2}}}{\Biggr )}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl (}1-k_{t}^{2}{\frac {tan{\bigl (}{\frac {t\omega }{2}}{\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}{\bigr )}}{{\bigl (}{\frac {t\omega }{2}}{\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}{\bigr )}}}{\Biggr )}}$.

Cette expression, qui est la même qu'en utilisant le circuit équivalent de Mason est notamment utile pour déterminer les propriétés piézoélectriques du matériau par problème inverse, l'impédance électrique étant facile à mesurer expérimentalement^[5].

La résonance se manifeste pour :

${\displaystyle {\frac {\Gamma t}{2}}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \omega _{\lambda /2}={\frac {\pi }{t}}{\sqrt {\frac {c_{33}}{\rho }}}}$

Dans l'expression ci-dessus, l'impédance est purement imaginaire (il n'y a donc aucune dissipation d'énergie) et diverge à la résonance. Cette situation n'est évidemment pas physique, et se résout en prenant en compte les pertes. Les pertes mécaniques se manifestent en ajoutant une petite partie imaginaire au ${\displaystyle c_{33}^{D}}$. De même, on ajoute une partie imaginaire au ${\displaystyle \varepsilon _{33}^{S}}$ pour représenter les pertes diélectriques, et au ${\displaystyle h_{33}}$ pour les pertes intrinsèques à l'effet piézoélectrique^[6].

On représente ici l'impédance électrique réduite d'une plaque piézoélectrique libre, résonant dans son mode épaisseur, conformément à l'équation ci-dessus. En bleu, le modèle ne comprend pas de pertes, en vert, on a ajouté un taux de pertes de 1 %. La fréquence est réduite, c'est-à-dire que la fréquence correspondance à la résonance ${\displaystyle {\lambda /2}}$ est ramenée à 1. De même, la valeur de l'impédance est normalisée.

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