Code de Lehmer

En mathématiques, et plus particulièrement en combinatoire, le code de Lehmer est une manière de présenter les permutations sous une forme qui rend commode un tirage aléatoire pour la loi uniforme. On peut l'utiliser pour résoudre le problème des secrétaires.

Le code de Lehmer, attribué à Derrick Lehmer^[1], mais connu depuis 1888 au moins^[2], associe à une permutation σ des éléments de ${\textstyle [\![1,n]\!]}$ l'application ƒ=L(σ) définie^[3] sur ${\textstyle [\![1,n]\!]}$ par

f(i)={\text{Card}}\left\{j\mid 1\leq j\leq i{\text{ et }}\sigma (j)\leq \sigma (i)\right\}=L(\sigma ,i).

Les applications ƒ, encodant des permutations de ${\textstyle {\mathfrak {S}}_{n},}$ peuvent être identifiées aux suites ${\textstyle \left(f(i)\right)_{1\leq i\leq n}.}$ Comme

1\leq f(i)\leq i,

le code de Lehmer établit une correspondance L entre l'ensemble ${\textstyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ et le produit cartésien

[\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!].

Décodage

Propriété — Le code de Lehmer L est une bijection de ${\textstyle {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ dans ${\textstyle [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!].}$

Un algorithme

Un algorithme simple permet de reconstituer σ à partir de ƒ=L(σ). Par exemple, le code ƒ=113252 correspond à une permutation σ telle que σ(6)=2. En effet on voit que, par définition, L(σ,n)=σ(n). C'est le premier pas de l'algorithme :

σ^-1=x6xxxx ;

l'avant-dernier terme de la suite ƒ, égal à L(σ,5)=5, signifie que parmi les 5 images possibles pour 5, (1,3,4,5,6), il faut choisir la 5^e, σ(5)=6 :

σ^-1=x6xxx5 ;

le terme 2=L(σ,4), en 4^e position de la suite ƒ, signifie que parmi les 4 images possibles pour 4, (1,3,4,5), il faut choisir la 2^e, σ(4)=3 :

σ^-1=x64xx5 ;

le terme 3=L(σ,3), en 3^e position de la suite ƒ, signifie que parmi les 3 images possibles pour 3, (1,4,5), il faut choisir σ(3)=5 :

σ^-1=x64x35 ;

on termine avec σ(2)=1 :

σ^-1=264x35 ;

puis σ(1)=4 :

σ^-1=264135 ;

on a donc σ=(4,1,5,3,6,2). Il est clair d'après le déroulement de l'algorithme qu'à chaque pas, il y a exactement un choix pour σ(k). Donc chaque suite ƒ de ${\textstyle [\![1,1]\!]\times [\![1,2]\!]\times [\![1,3]\!]\times \dots \times [\![1,n]\!]\ }$ possède un antécédent et un seul dans ${\textstyle {\mathfrak {S}}_{n}.}$

Un autre algorithme

Une autre possibilité est de construire σ^-1 directement à partir de ƒ=113252 de la manière suivante :

insérer 1 à la 1^re et seule place possible dans la suite x, ce qui donne 1,
insérer 2 à la 1^re des places possibles dans la suite x1x, ce qui donne 21,
insérer 3 à la 3^e des places possibles dans la suite x2x1x, ce qui donne 213,
insérer 4 à la 2^e des places possibles dans la suite x2x1x3x, ce qui donne 2413,
insérer 5 à la 5^e des places possibles dans la suite x2x4x1x3x, ce qui donne 24135,
insérer 6 à la 2^e des places possibles dans la suite x2x4x1x3x5x, ce qui donne 264135.

On peut maintenant déduire σ de σ^-1. Cette construction est justifiée par l'observation suivante : par définition, ƒ(i) est le rang de σ(i) quand on range la suite (σ(1), σ(2), σ(3), ... , σ(i-1), σ(i)) dans l'ordre croissant.

Applications en combinatoire et en probabilités

Indépendance des rangs relatifs

Ces applications découlent d'une propriété immédiate du code de Lehmer L(σ) vu comme suite de nombres entiers.

Propriété — Sous la loi uniforme sur ${\mathfrak {S}}_{n}$ , L est une suite de variables indépendantes et uniformes ; L(i) suit la loi uniforme sur $[\![1,i]\!]\$ .

En d'autres termes, si on tire une permutation aléatoire ω au hasard dans ${\textstyle {\mathfrak {S}}_{n},\ }$ avec équiprobabilité (chaque permutation a une probabilité 1/n! d'être choisie), alors son code de Lehmer ƒ=L(ω)=(L(1,ω), L(2,ω), L(3,ω), ... , L(n,ω)) est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes. Cela contraste avec le comportement probabiliste de la suite (ω(1), ω(2), ω(3), ... , ω(n)) des images des entiers par la permutation aléatoire ω, qui fournit la description la plus naturelle de ω, mais qui est une suite de variables aléatoires dépendantes, donc moins maniable pour effectuer des calculs de probabilités. L'indépendance des composantes de L résulte d'un principe général concernant les variables aléatoires uniformes sur un produit cartésien.

Nombre de records

Définition — On dit qu'une suite u=(u_k)_1≤k≤n présente un record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k si u_k est strictement plus petit (resp. strictement plus grand) que chaque terme u_i tel que i<k.

Soit B(k) (resp. H(k)) l'évènement « il y a record vers le bas (resp. vers le haut) au rang k » , i.e. B(k) est l'ensemble des permutations de ${\textstyle {\mathfrak {S}}_{n}\ }$ qui présentent un record vers le bas au rang k. Par définition du code de Lehmer, pour une permutation $\omega$ de ${\mathfrak {S}}_{n}$ , on a les équivalences

{\begin{aligned}\omega \in B(k)&\iff L(k,\omega )=1\\{\text{et}}\quad \omega \in H(k)&\iff L(k,\omega )=k.\end{aligned}}

Ainsi le nombre N_b(ω) (esp. N_h(ω)) de records vers le bas (resp. vers le haut) de la permutation ω s'écrit comme une somme de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres respectifs 1/k :

N_{b}(\omega )=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbf {1} _{B(k)}\quad {\text{et}}\quad N_{b}(\omega )=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbf {1} _{H(k)}.

En effet, comme L(k) suit la loi uniforme sur ${\textstyle [\![1,k]\!],\ }$

\mathbb {P} (B(k))=\mathbb {P} (L(k)=1)=\mathbb {P} (H(k))=\mathbb {P} (L(k)=k)={\frac {1}{k}}.

La fonction génératrice de la variable de Bernoulli $1\!\!1_{B(k)}$ est

G_{k}(s)={\frac {k-1+s}{k}},

donc la fonction génératrice de N_b est

G(s)=\prod _{k=1}^{n}G_{k}(s)\ =\ {\frac {(s)_{\uparrow n}}{n!}},

ce qui permet de retrouver la forme produit de la série génératrice des nombres de Stirling de première espèce (non signés).

Nombre de cycles

La correspondance fondamentale de Foata entraîne que la loi de probabilité de N_b est aussi la loi du nombre de cycles de la décomposition d'une permutation tirée au hasard uniformément.

Problème des secrétaires

Le problème des secrétaires est un problème d'arrêt optimal, classique en théorie de la décision, statistiques et probabilités appliquées, où une permutation aléatoire est dévoilée progressivement à travers les premiers termes de son code de Lehmer, et où il faut s'arrêter exactement à la valeur k telle que σ(k)=n, alors que la seule information disponible (les k premières valeurs du code de Lehmer) ne permet pas de calculer σ(k). En termes moins mathématiques, une série de n candidats sont présentés, l'un après l'autre, à un recruteur, qui doit recruter le meilleur, mais doit prendre sa décision (« je passe » ou « je recrute ») au moment où le candidat lui est présenté, sans attendre d'avoir vu le candidat suivant (a fortiori, sans avoir vu tous les candidats). Le recruteur connait donc le rang du candidat présenté en k-ème position parmi les k candidats qu'il a déjà vus, donc, au moment de prendre sa k-ème décision (« je passe » ou « je recrute »), le recruteur connait les k premiers termes du code de Lehmer, alors qu'il aurait besoin de connaître la permutation : le recruteur aurait besoin de connaître tous les termes du code de Lehmer pour prendre une décision bien informée. Pour déterminer la stratégie optimale (optimisant la probabilité de gagner), les propriétés statistiques du code de Lehmer sont cruciales. Johannes Kepler aurait exposé clairement le problème des secrétaires à un ami au moment où il a entrepris de choisir sa seconde femme parmi 11 épouses potentielles (choix qu'il voulait faire très méticuleusement car son premier mariage avait été arrangé sans qu'il eût été consulté et s'était avéré malheureux)^[4].

Notes et références

↑ (en) D. H. Lehmer, « Teaching combinatorial tricks to a computer », dans Richard Bellman and Marshall Hall Jr. (éd.), Combinatorial analysis, American Mathematical Society, coll. « Proc. Sympos. Appl. Math. » (n^o 10), 1960, 179-193 p. (ISBN 978-0-8218-1310-2 et 978-0-8218-9225-1, DOI 10.1090/psapm/010, MR 0113289).
↑ voir Charles-Ange Laisant, « Sur la numération factorielle, application aux permutations », Bulletin de la Société mathématique de France, Société mathématique de France, vol. 16,‎ 1888, p. 176-183 (lire en ligne), mais aussi (en) Don Knuth, The art of computer programming : sorting and searching, t. 3, Reading, Addison-Wesley, 1981, 2^e éd., p. 12-13, où on fait référence à un article de Marshall Hall antérieur à celui de Lehmer. C'est probablement la raison pour laquelle Donald Knuth parle d'inversion table, et non pas de Lehmer code.
↑ On utilise parfois une convention différente, avec des inégalités strictes plutôt que larges, en considérant le code ${\textstyle {\tilde {f}}(i)={\text{Card}}\left\{j\mid 1\leq j<i{\text{ et }}\sigma (j)<\sigma (i)\right\},}$ ce qui revient à faire un décalage uniforme de 1, i.e. ${\textstyle {\tilde {f}}(i)=f(i)-1}$ pour tout $i$ .
↑ (en) Thomas S. Ferguson, « Who Solved the Secretary Problem? », Statistical Science, vol. 4, n^o 3,‎ août 1989, p. 282-289 (lire en ligne).

Décodage

Un algorithme

Un autre algorithme

Applications en combinatoire et en probabilités

Indépendance des rangs relatifs

Nombre de records

Nombre de cycles

Problème des secrétaires

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

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