Configuration de Möbius-Kantor

August Ferdinand Möbius a demandé en 1828^[1] s'il existe une paire de polygones ayant chacun p côtés, de sorte que les sommets d'un polygone soient sur les droites joignant deux sommets de l'autre polygone et vice versa. Si c'est le cas, les sommets et les côtés de ces polygones forment une configuration projective. Pour ${\displaystyle p=4}$, il n'y a pas de solution dans le plan euclidien mais Seligmann Kantor (en) a trouvé en 1882 des paires de polygones de ce type^[2], pour une généralisation du problème dans le plan projectif complexe. Autrement dit, dans la solution de Kantor, les coordonnées des sommets des polygones sont des nombres complexes. La solution de Kantor pour ${\displaystyle p=4}$, qui est une paire de quadrilatères inscrit l'un dans l'autre dans le plan projectif complexe, est appelée la configuration de Möbius–Kantor.

En 1950, H. S. M. Coxeter fournit des coordonnées projectives particulièrement simples pour une réalisation des huit points de la configuration de Möbius-Kantor^[3] :

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (ω, –1, 1), (–1, 0, 1),

(–1, ω², 1), (1, ω, 0), (0, 1, 0), (0, –1, 1),

où ω est une racine cubique complexe de l'unité.

Les huit points et les huit droites de la configuration de Möbius-Kantor, avec ces coordonnées, forment les huit sommets et les huit 3-arêtes du polygone complexe (en) 3{3}3^[4]. Coxeter l'a nommé polygone de Möbius-Kantor (en).

Plus abstraitement, la configuration de Möbius-Kantor peut être décrite comme un système de huit points et de huit triplets de points tel que chaque point appartient à exactement trois de ces triplets. Sous certaines conditions supplémentaires (naturelles pour les points et les droites), à savoir qu'une paire de points appartient à au plus un triplet et que deux triplets ont au plus un point commun, deux systèmes quelconques de ce type sont équivalents à permutation des points près. Autrement dit, la configuration de Möbius-Kantor est l'unique configuration projective de type (8₃8₃).

Le graphe de Möbius-Kantor tire son nom du fait que c'est le graphe de Lévi de la configuration de Möbius-Kantor. Il possède un sommet par point et un sommet par triplet (soit seize sommets) et il y a une arête entre deux sommets si l'un correspondent à un point et l'autre à un triplet qui contient ce point.

Les points et les droites de la configuration de Möbius-Kantor peuvent être décrits comme un matroïde, dont les éléments sont les points de la configuration et dont les plats non triviaux sont les droites de la configuration. Dans ce matroïde, un ensemble S de points est indépendant si et seulement si S est de cardinal 1 ou 2 ou bien S est constitué de trois points non colinéaires. En tant que matroïde, il a été nommé matroïde de MacLane, d'après les travaux de Saunders Mac Lane^[5], qui a démontré qu'il ne peut pas être orienté ; c'est l'un des nombreux matroïdes mineurs-minimaux (en) non orientables connus^[6].

Le problème de Möbius des polygones mutuellement inscrits pour des valeurs de p supérieures à quatre est également intéressante. Par exemple, pour ${\displaystyle p=5}$, une solution est donnée par la configuration de Desargues, formée de dix points et dix droites (avec trois points par droite et trois droites par point), qui admet une réalisation euclidienne. La configuration de Möbius est un analogue de la configuration de Möbius-Kantor en dimension trois, constituée de deux tétraèdres inscrits l'un dans l'autre.

La configuration de Möbius-Kantor peut être augmentée en ajoutant quatre droites passant par les quatre paires de points non reliées par des droites, et en ajoutant un neuvième point sur ces quatre nouvelles droites. On trouve alors la configuration hessienne, qui partage avec la configuration de Möbius-Kantor la propriété d'être réalisable sur le corps des complexes mais pas sur le corps de réels^[7]. En supprimant un point quelconque de la configuration hessienne, on trouve une copie de la configuration de Möbius-Kantor.

Les deux configurations peuvent également être décrites algébriquement à l'aide du groupe élémentaire abélien ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$, qui a neuf éléments. Ce groupe possède quatre sous-groupes d'ordre trois (les sous-ensembles d'éléments de la forme ${\displaystyle (i,0)}$, ${\displaystyle (i,i)}$, ${\displaystyle (i,2i)}$, et ${\displaystyle (0,i)}$ (où ${\displaystyle i}$ décrit ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$. Chacun de ces sous-groupes détermine une partition des neuf éléments du groupe en trois classes de trois éléments chacune. Ces neuf éléments et douze classes forment la configuration de Hesse. En supprimant l'élément nul et les quatre classes contenant zéro, on obtient la configuration de Möbius-Kantor.