Conjecture de Hanna Neumann

La conjecture était motivée par un théorème de 1956 dû à Howson^[6], selon lequel l'intersection de deux sous-groupes de type fini H et K d'un groupe libre est un groupe libre de type fini. Plus précisément, on savait déjà que H∩K est libre (théorème de Nielsen-Schreier) et Howson montra que si H et K sont de rangs m, n > 0 alors le rang s de H∩K vérifie :

La même année^[7] et la suivante^[1], Hanna Neumann améliora cette majoration en montrant que

conjecturant que ce facteur 2 était même superflu, c'est-à-dire que

Cet énoncé devint connu sous le nom de « conjecture de Hanna Neumann ».

Si H ou K est d'indice fini, on a égalité^[5],[8].

Si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, a un élément de G et b un élément de sa double classe HaK, c'est-à-dire un élément de la forme hak avec h∈H et k∈K, alors le sous-groupe H ∩ bKb^–1 est conjugué par h de H ∩ aKa^–1, donc de même rang. On sait par ailleurs que si G est libre et si H et K sont de rangs m et n finis et > 0, il n'existe qu'un nombre fini de classes doubles Ha₁K, … , Ha_tK pour lesquelles ce rang est non nul. Si H∩K est de rang s > 0, on a alors^[8] :

${\displaystyle s-1\leq \sum _{i=1}^{t}[{\rm {rang}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq 2(m-1)(n-1),}$

ce qui rend naturelle la « conjecture de Hanna Neumann renforcée » formulée par Walter Neumann^[5] (l'un de ses trois fils) :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}[{\rm {rang}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq (m-1)(n-1).}$

• En 1971, Burns affina la majoration de Hanna Neumann de 1957 en^[9],[10]s – 1 ≤ 2(m – 1)(n – 1) – min(m – 1, n – 1).
• En 1990, Walter Neumann^[5] précisa le résultat de Burns en démontrant que (avec les notations ci-dessus)${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}[{\rm {rang}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq 2(m-1)(n-1)-\min(m-1,n-1)}$ et formula la conjecture renforcée (voir ci-dessus).
• En 1992, Gábor Tardos^[11] établit cette conjecture renforcée dans le cas où m ou n est égal à 2. Comme dans la plupart des approches de cette conjecture^[12], il utilisait une technique de théorie géométrique des groupes : celle des graphes de sous-groupes de Stallings^[13].
• En 1994, Warren Dicks^[14] reformula la conjecture renforcée en termes de théorie des graphes.
• En 2000, Goulnara Arzhantseva^[15] démontra que si H est un sous-groupe de type fini et d'indice infini d'un groupe libre G alors, pour une classe « générique » – en un certain sens statistique – de sous-groupes K de G de type fini, tous les H ∩ aKa^–1 sont triviaux. Ainsi, pour tout sous-groupe de type fini H de G, la conjecture renforcée est vérifiée pour des K génériques.
• En 2001, Dicks et Formanek (en)^[16] utilisèrent l'équivalence établie par Dicks en 1994 pour prouver la conjecture renforcée dans le cas où m ou n est inférieur ou égal à 3.
• En 2002, Bilal Khan^[17] et, indépendamment, John Meakin et Pascal Weil^[18] prouvèrent la conjecture renforcée dans le cas où l'un des deux sous-groupes H ou K du groupe libre G est « positivement engendré », c'est-à-dire engendré par un ensemble fini d'éléments qui sont produits seulement de générateurs de G, et pas de leurs inverses.
• Sergei Ivanov^[19],[20], puis Dicks et Ivanov^[21], ont obtenu des analogues et des généralisations des résultats de Hanna Neumann pour des intersections de deux sous-groupes d'un produit libre de plusieurs groupes.
• En 2005 – donc avant que la conjecture de Hanna Neumann renforcée soit démontrée – Daniel Wise^[22] a prouvé qu'elle implique une autre conjecture^[23] en théorie des groupes qui résistait depuis longtemps, selon laquelle tout groupe à un relateur 〈 a₁, a₂, … | Wⁿ 〉 avec n ≥ 2 est « cohérent », c'est-à-dire que tous ses sous-groupes de type fini sont de présentation finie.