Conjecture de Herzog-Schönheim
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En mathématiques, la conjecture de Herzog-Schönheim est un problème de combinatoire et de théorie des groupes, dont la résolution généraliserait à un groupe quelconque le théorème de Mirsky-Newman sur les systèmes couvrant, valable pour le groupe ℤ des entiers relatifs.
Soient G un groupe et {a1G1, … , akGk} (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes G1, … , Gk. Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé[1] que les indices (finis[2]) [G:G1], … , [G:Gk] ne peuvent être tous distincts.
Groupes pyramidaux
Berger, Felzenbaum et Frankel[3] ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes
telle que pour chaque k < n, l'indice [Gk:Gk +1] soit le plus petit facteur premier de l'ordre de Gk (ce qui implique que Gk +1 est normal dans Gk, donc que G est résoluble).
Tout groupe fini super-résoluble est pyramidal et tout groupe nilpotent de type fini est super-résoluble.
![{\displaystyle {\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb42cecaa804bdebb88f7250e791a7da34e2bde)
