Conjecture de Singmaster

Il est clair que le seul nombre qui apparaît une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

${\displaystyle N(a)=O(1).}$

Singmaster a montré^[1] que

${\displaystyle N(a)=O(\log a).}$

Abbot, Erdős, et Hanson^[2] affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle, due à Daniel Kane^[3], est

${\displaystyle N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right).}$

Singmaster a montré^[4] que l'équation diophantienne

${\displaystyle {m \choose j-1}={m-1 \choose j}}$

a une infinité de solutions (m, j). Il s'ensuit qu'il y a une infinité de termes de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données par^[5]

${\displaystyle m=F_{2\ell }F_{2\ell +1}\quad {\rm {et}}\quad j=F_{2\ell -1}F_{2\ell },}$

où ℓ ≥ 2 et F_n est le n-ième nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F₁ = F₂ = 1).

• 2 apparaît une seule fois ; tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois.
• 4, ainsi que tout nombre premier différent de 2, apparaît 2 fois.
• 6 apparaît 3 fois.
• Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.
• On ne sait pas s'il existe des nombres apparaissant 5 fois.
• Les sept nombres suivants apparaissent 6 fois :

${\displaystyle {120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3},}$

${\displaystyle {210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4},}$

${\displaystyle {1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3},}$

${\displaystyle {7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3},}$

${\displaystyle {11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5},}$

${\displaystyle {24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8},}$

${\displaystyle {61218182743304701891431482520 \choose 1}={104 \choose 39}={103 \choose 40},}$

qui correspond à ℓ = 3 dans la suite de Singmaster.

• Parmi les autres nombres apparaissant au moins 7 fois, le plus petit est le précédent dans la suite de Singmaster (ℓ = 2). Il apparaît 8 fois :${\displaystyle {3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}.}$On ne sait pas s'il existe d'autres nombres apparaissant au moins 7 fois.

• Bruno Martin — « Une conjecture sur le triangle de Pascal » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

• Arithmétique et théorie des nombres