Constante de Komornik-Loreti

Étant donné un nombre réel ${\displaystyle q}$ > 1, la série

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

est appelée une ${\displaystyle q}$-expansion, ou ${\displaystyle \beta }$-expansion, du nombre réel positif x si, pour tout ${\displaystyle n\geqslant 0}$, ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \lfloor q\rfloor }$, où${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ est la partie entière de ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle a_{n}}$ peut ne pas être entier. N'importe quel nombre réel ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$ possède une telle expansion, comme on peut le prouver en utilisant un algorithme glouton.

Le cas particulier où ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle a_{0}=0}$, et ${\displaystyle a_{n}=0}$ ou ${\displaystyle a_{n}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$, est parfois appelé un ${\displaystyle q}$-développement de 1. Dans le cas où ${\displaystyle a_{n}=1}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$, la seule valeur possible de ${\displaystyle q}$ est ${\displaystyle q}$ = 2. Cependant, pour presque tout ${\displaystyle 1<q<2}$, il existe un nombre infini de ${\displaystyle q}$-développements de 1. De manière encore plus surprenante, il existe des ${\displaystyle q\in [1,2]}$ pour lesquels il n'existe qu'un seul ${\displaystyle q}$ -développement. De plus, il existe un plus petit nombre ${\displaystyle 1<q<2}$, connu sous le nom de constante de Komornik-Loreti, pour lequel il existe un unique ${\displaystyle q}$-développement de 1^[2].