Contour de Hankel

Dérivation de l'expression intégrale de contour de la fonction gamma

Le contour de Hankel peut être utilisé pour aider à dériver une expression pour la fonction Gamma^[2], basée sur la propriété fondamentale ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$. On suppose un ansatz de la forme ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{C}f(t)t^{z-1}\,\mathrm {d} t}$, où ${\displaystyle C}$ est le contour de Hankel.

En insérant cet ansatz dans la propriété fondamentale et en intégrant par parties du côté droit, on obtient $${\displaystyle \int _{C}f(t)t^{z}\,\mathrm {d} t=[t^{z}f(t)]-\int _{C}t^{z}f'(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Ainsi, en supposant que ${\displaystyle f(t)}$ tende vers 0 suffisamment rapidement pour que ${\displaystyle t^{z}f(t)}$ disparaisse aux extrémités du contour de Hankel, $${\displaystyle \int _{C}t^{z}(f(t)+f'(t))\,\mathrm {d} t=0\implies f(t)+f'(t)=0.}$$

La solution de cette équation différentielle est ${\displaystyle f(t)=A\mathrm {e} ^{-t}.}$ Alors que ${\displaystyle A}$ est une constante par rapport à ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle A}$ peut néanmoins être une fonction de ${\displaystyle z}$. En substituant ${\displaystyle f(t)}$ dans l'intégrale originale, on obtient alors $${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)\int _{C}\mathrm {e} ^{-t}(-t)^{z-1}\,\mathrm {d} t,}$$ où le signe moins est présent ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ est comptabilisé en absorbant un facteur ${\displaystyle (-1)^{z-1}}$ dans la définition de ${\displaystyle A(z)}$.

On note ${\displaystyle I_{c}=\int _{C}\mathrm {e} ^{-t}(-t)^{z-1}\,\mathrm {d} t}$. On a alors :

$${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)I_{c}}$$

Comme indiqué ci-dessus, l'intégrale I_C sur l'ensemble du contour C est la somme de trois intégrales :

• Celle sur la demi-droite ]+∞, M] de la partie imaginaire +iδ qui sera appelé ${\displaystyle I_{\delta }^{+}}$
• Celle sur le cercle partiel entre M et N qui sera appelé I_ε
• Celle sur la demi-droite [N , +∞[ de la partie imaginaire –iδ qui sera appelé ${\displaystyle I_{\delta }^{-}}$

Iε peut être rejetée car elle tend vers 0 lorsque ε tend vers 0.

Pour ${\displaystyle I_{\delta }^{+}}$ et ${\displaystyle I_{\delta }^{-}}$, l'expression ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ sera mis sous la forme ${\displaystyle \mathrm {e} ^{(z-1)\operatorname {Log} (-t)}}$.

Tout complexe c peut être écrit comme ρ cos(θ) + i sin(θ), ou ρ e^iθ avec ρ réel positif ou nul et θ réel. Si l'on exige que θ soit compris entre –π (non inclus) et +π, θ est unique si c est non nul. θ est appelé l'argument du complexe c et ρ est son module (unique dans tous les cas). Le logarithme complexe de c est défini comme étant égal à log(ρ) + iθ, log(ρ) étant le logarithme réel usuel et θ appartenant à ]–π, π].

On calcule d'abord ${\displaystyle I_{\delta }^{-}}$. La variable t sur le segment [N, +∞[ peut être paramétrée par sa partie réelle x. La partie réelle de N sera notée x(δ). Ce réel tend vers 0 lorsque δ et ε tendent vers 0.

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\delta }^{-}&=\int _{x(\delta )}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}(-t)^{z-1}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{x(\delta )}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {e} ^{(z-1)\operatorname {Log} (-t)}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$$

avec t = x – iδ sur le segment bleu sous l'axe des abscisses. Comme indiqué précédemment, on peut l'écrire ainsi : ${\displaystyle \rho (t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta (t)}}$ avec θ(t) appartenant à ]+π, π].

En fait, θ(t) appartient à ]–π/2, 0] puisque t est situé dans le quadrant inférieur droit du plan complexe. Pour passer de t à –t, il faut ajouter ou soustraire π à θ(t). Puisque l'argument de –t doit être compris entre -π (non inclus) et +π, pour respecter la définition du logarithme complexe, il faut ajouter π à θ(t).

Ainsi, en remplaçant t par x – iδ :

$${\displaystyle I_{\delta }^{-}=\int _{x(\delta )}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x+\mathrm {i} \delta }\mathrm {e} ^{(z-1)(\operatorname {Log} (x-\mathrm {i} \delta )+\mathrm {i} \pi )}\,\mathrm {d} x}$$

Pour ${\displaystyle I_{\delta }^{+}}$, le segment ]+∞, M] peut être paramétré par x avec t = x + iδ. Si l'on intègre entre M et l'infini, on obtient l'inverse de l'intégrale recherchée puisque le segment est orienté dans l'autre sens.

Donc, ${\displaystyle I_{\delta }^{+}=-\int _{x(\delta )}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {e} ^{(z-1)\mathrm {Log} (-t)}\,\mathrm {d} t}$

Cette fois, t étant situé dans le quadrant supérieur droit du plan complexe, il faut supprimer π de son argument pour obtenir –t afin d'être dans l'intervalle de valeurs du logarithme complexe. On a donc :

$${\displaystyle I_{\delta }^{+}=-\int _{x(\delta )}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x-\mathrm {i} \delta }\mathrm {e} ^{(z-1)(\operatorname {Log} (x+\mathrm {i} \delta )-\mathrm {i} \pi )}\,\mathrm {d} x}$$

Lorsque δ tend vers 0, ${\displaystyle I_{c}=I_{\delta }^{+}+I_{\delta }^{-}}$ devient : $${\displaystyle I_{c}=-\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{(z-1)(\operatorname {Log} (x)-\mathrm {i} \pi )}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{(z-1)(\operatorname {Log} (x)+\mathrm {i} \pi )}\,\mathrm {d} x}$$

qu'on peut factoriser en :

$${\displaystyle I_{c}=\left[-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi (z-1)}+\mathrm {e} ^{+\mathrm {i} \pi (z-1)}\right]\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{(z-1)\operatorname {Log} (x)}\,\mathrm {d} x}$$

Or, ${\displaystyle -\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi (z-1)}+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi (z-1)}=-2\mathrm {i} \sin(\pi z)}$, et ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{(z-1)\operatorname {Log} (x)}\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{z-1}\mathrm {d} x=\Gamma (z)}$

Donc, on a : ${\displaystyle I_{c}=-2\mathrm {i} \sin(\pi z)\Gamma (z)}$

mais en même temps (voir définition de ${\displaystyle I_{c}}$ au-dessus de) : $${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)I_{c}}$$

donc, ${\displaystyle A(z)={\frac {1}{-2\mathrm {i} \sin(\pi z)}}={\frac {\mathrm {i} }{2\sin(\pi z)}}}$

Ensuite, en intégrant le long du contour de Hankel, l'expression intégrale du contour de la fonction gamma est devenue ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\mathrm {i} }{2\sin {\pi z}}}\int _{C}\mathrm {e} ^{-t}(-t)^{z-1}\,\mathrm {d} t}$^[2]