Convergence en mesure

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré et ${\displaystyle (Y,d)}$ un espace métrique séparable. Soit ${\displaystyle f,\,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:X\to Y}$ des fonctions mesurables. On dit que ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge en mesure vers ${\displaystyle f}$ si pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \{x\,|\,d(f_{n}(x),f(x))>\varepsilon \}=0}$.

Lorsque ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de probabilité et que ${\displaystyle (Y,d)}$ est l'espace des nombres réels muni de la distance euclidienne, on retrouve la définition de la convergence en probabilité de variables aléatoires réelles.

• Si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure finie, autrement dit, si ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, alors la convergence presque partout entraîne la convergence en mesure^[1].
• De manière générale, si ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge en mesure vers ${\displaystyle f}$ alors il existe une sous suite ${\displaystyle (f_{\phi (n)})_{n\in \mathbb {N} }}$ qui converge presque partout vers ${\displaystyle f}$^[1].
• Si ${\displaystyle (Y,d)}$ est l'espace des nombres réels muni de la distance euclidienne alors, pour tout ${\displaystyle p\in [1,+\infty ]}$, la convergence pour la norme ${\displaystyle L^{p}}$ implique la convergence en mesure^[1].
• Pour tout ${\displaystyle f,\,g:X\to Y}$ mesurables, posons ${\displaystyle e_{\mu }(f,g):=\inf\{\varepsilon \,|\,\mu \{x\,|\,d(f(x),g(x))>\varepsilon \}<\varepsilon \}}$ (avec la convention ${\displaystyle \inf \emptyset =+\infty }$). Posons aussi ${\displaystyle d_{\mu }(f,g):={\frac {e_{\mu }(f,g)}{1+e_{\mu }(f,g)}}}$ (avec la convention ${\displaystyle {\frac {+\infty }{1+\infty }}=1}$). Alors ${\displaystyle d_{\mu }}$ est une distance. La convergence en mesure est équivalente à la convergence pour la distance ${\displaystyle d_{\mu }}$. De plus si l'espace ${\displaystyle (Y,d)}$ est complet alors l'espace des fonctions mesurables de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ muni de la distance ${\displaystyle d_{\mu }}$ est complet aussi^[1].

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