Espace mesuré

Un espace mesuré est l'un des concepts mathématiques principaux de la théorie de la mesure, la branche des mathématiques qui généralise les notions géométriques d'aire ou de volume.

Un espace mesuré est un ensemble où, d'une part on a distingué les sous-ensembles qui peuvent être mesurés (une tribu), et d'autre part on a défini la manière avec laquelle ils seront mesurés (la mesure). La notion d'espace mesuré est notamment importante pour définir formellement les probabilités.

On parle d'espace mesurable si l'on ne donne que les deux premiers éléments (l'ensemble et la tribu), sans spécifier la mesure. Autrement dit, un espace mesuré est un espace mesurable que l'on a muni d'une mesure.

On appelle espace mesuré un triplet $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ , où $X$ est un ensemble, ${\mathcal {A}}$ une tribu sur $X$ et $\mu$ une mesure sur ${\mathcal {A}}$ . Le couple $(X,{\mathcal {A}})$ est alors appelé un espace mesurable^[1]^,^[2].

En théorie des probabilités, on va considérer le cas particulier où la mesure est une mesure de probabilité, généralement notée $\mathbb {P}$ . Le triplet $(X,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ ainsi constitué est alors appelé un espace probabilisé.

Exemple

Considérons l'ensemble X = {0,1} muni de la tribu discrète, c'est-à-dire l'ensemble des parties de X, soit :

${\mathcal {A}}=\left\{\emptyset ,\left\{0\right\},\left\{1\right\},\left\{0,1\right\}\right\}$

on définit la mesure μ telle que

$\mu \left(\left\{0\right\}\right)=\mu \left(\left\{1\right\}\right)={\frac {1}{2}}$

par définition d'une mesure, on a immédiatement

$\mu \left(\emptyset \right)=0\qquad \mu \left(X\right)=1$

L'espace ainsi défini (X, A, μ) est un espace mesuré. Vu que μ(X) = 1 c'est même un espace probabilisé, la mesure μ correspondant à une loi de Bernoulli de probabilité p = ¹⁄₂ représentant un tirage à pile ou face avec une pièce équilibrée.

On peut, sur le même espace, définir une mesure μ' où par exemple

$\mu ^{\prime }\left(\left\{0\right\}\right)=0.6\qquad \mu ^{\prime }\left(\left\{1\right\}\right)=0.4$

ce qui correspondrait à une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,6 représentant une pièce truquée.

Exemple

Propriétés des mesures

Références

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