Coordonnées ellipsoïdales

Les coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y,z)}$ peuvent être générées à partir des coordonnées ellipsoïdales ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ par les équations

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

où les limites suivantes s'appliquent aux coordonnées

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

Par conséquent, les surfaces à ${\displaystyle \lambda }$ constant sont des ellipsoïdes

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

alors que les surfaces à ${\displaystyle \mu }$ constant sont des hyperboloïdes à une nappe

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

parce que le dernier terme du côté gauche est négatif et que les surfaces sont constantes ${\displaystyle \nu }$ sont des hyperboloïdes à deux nappes

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

parce que les deux derniers termes du côté gauche sont négatifs.

Le système orthogonal de quadriques utilisé pour les coordonnées ellipsoïdales est constitué de quadriques confocales (de mêmes foyers).

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Pour plus de concision dans les équations ci-dessous, on introduit une fonction

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

où ${\displaystyle \sigma }$ peut désigner l'une des trois variables ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ . En utilisant cette fonction, les facteurs d'échelle peuvent être écrits

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}},\ h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}},\ h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

Par conséquent, l'élément de volume infinitésimal est égal à

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

et le Laplacien est défini par

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]}$

D'autres opérateurs différentiels tels que ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ et ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ peuvent être exprimés dans les coordonnées ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées dans les coordonnées orthogonales.