Correspondance de Galois

Soient ${\displaystyle m_{1}:P\to Q}$ et ${\displaystyle m_{2}:Q\to P}$ des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ et ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$. On dit que ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ est une correspondance de Galois antitone si ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ sont décroissantes et si ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ sont extensives, c.-à-d. vérifient, pour tout élément ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle P}$ et tout élément ${\displaystyle q}$ de ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle p\leq _{P}m_{2}(m_{1}(p))}$ et ${\displaystyle q\leq _{Q}m_{1}(m_{2}(q))~.}$

Certains auteurs parlent de correspondance de Galois seulement dans le cas ${\displaystyle p=m_{2}(m_{1}(p))}$ et ${\displaystyle q=m_{1}(m_{2}(q))}$ et de connexion de Galois dans le cas précédent^[1].

Soit ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ une correspondance de Galois comme ci-dessus. On a les propriétés suivantes^[3],

• ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ préservent l'ordre.
• ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}\circ m_{2}=m_{2}}$ (et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}\circ m_{1}=m_{1}}$), si bien que ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{1}\circ m_{2}}$ sont idempotentes.
• ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ est un opérateur de clôture sur ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ (puisqu'elle est de plus extensive).
• Réciproquement, tout opérateur de clôture ${\displaystyle c}$ sur un ensemble ordonné ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ est de la forme ${\displaystyle m_{2}\circ m_{1}}$ pour une certaine correspondance de Galois^[4], en choisissant par exemple pour ${\displaystyle Q}$ l'image de ${\displaystyle c}$, pour ${\displaystyle m_{1}}$ la corestriction de ${\displaystyle c}$ à ${\displaystyle Q}$, et pour ${\displaystyle m_{2}}$ l'injection canonique de ${\displaystyle Q}$ dans ${\displaystyle P}$.

• Soit ${\displaystyle K/k}$ une extension de corps finie et galoisienne. Alors ${\displaystyle L\mapsto {\text{Gal}}(K/L)}$ et ${\displaystyle H\mapsto {\text{Fix}}_{K}(H)}$ forment une correspondance de Galois antitone entre les sous-corps de ${\displaystyle K}$ contenant ${\displaystyle k}$ et les sous-groupes du groupe de Galois ${\displaystyle {\text{Gal}}(K/k)}$.

• Soit ${\displaystyle (X,x)}$ un espace pointé connexe par arcs, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe. On a une correspondance de Galois antitone entre les classes d'isomorphismes des revêtements connexes ${\displaystyle \pi$ :(X',x')\rightarrow (X,x)} et les sous-groupes du groupe fondamental ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$, en associant à chaque revêtement ${\displaystyle \pi$ :(X',x')\rightarrow (X,x)} le sous-groupe ${\displaystyle \pi _{*}(\pi _{1}(X',x'))}$.

• Soit ${\displaystyle A}$ un anneau commutatif. Le Nullstellensatz donne une correspondance de Galois antitone entre les ideaux radicaux de ${\displaystyle A}$ et les sous-ensembles fermés pour la topologie de Zariski de ${\displaystyle {\text{Spec}}(A)}$.

On a aussi une notion de correspondance pour des applications qui préservent l'ordre. Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ vers ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$ est, au sens de variation de ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$ et l'ensemble ordonné ${\displaystyle (Q,\leq _{Q}^{op})}$, où ${\displaystyle \leq _{Q}^{op}}$ désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de ${\displaystyle \leq _{Q}}$. Autrement dit, ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ est une correspondance de Galois isotone si ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ sont croissantes et si, pour tout élément ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle P}$ et tout élément ${\displaystyle q}$ de ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle p\leq _{P}m_{2}(m_{1}(p))}$ et ${\displaystyle m_{1}(m_{2}(q))\leq _{Q}q~.}$

• Soit ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ une application entre deux ensembles. Alors les images directe et réciproque ${\displaystyle f(\cdot ):{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ et ${\displaystyle f^{-1}(\cdot ):{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ forment un correspondance de Galois isotone entre les ensembles des parties de ${\displaystyle X}$ et de ${\displaystyle Y}$.

• Soit ${\displaystyle G}$ un groupe. Les applications ${\displaystyle X\mapsto \langle X\rangle }$ (qui à un sous-ensemble de ${\displaystyle G}$ associe le sous-groupe engendré) et ${\displaystyle H\mapsto U(H)}$ (qui à un sous-groupe de ${\displaystyle G}$ associe son ensemble sous-jacent) forment une correspondance de Galois isotone entre les sous-ensembles et les sous-groupes de ${\displaystyle G}$.